2012 . | x - 2011| + (x-2011)² = 2013 . | 2011 - x|

|x-2011|.|x-2011| + 2012 . | x - 2011| - 2013 . | 2011- x| =0

|x - 2011|.| x - 2011| + 2012 .| x - 2011| - 2013 | x - 2011| = 0

| x- 2011| .| x -2011|  - | x - 2011| = 0

| x - 2011|. { | x - 2011| - 1} = 0

\(\left[{}\begin{matrix}\left|x-2011\right|=0\\\left|x-2011\right|-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=2011\\x=2012\\x=2010\end{matrix}\right.\)

Kết luận x \(\in\) { 2010; 2011; 2012}

Ta có: \(\frac{x+4}{2010}+\frac{x+3}{2011}=\frac{x+2}{2012}+\frac{x+1}{2013}\) 

\(\Rightarrow\left(\frac{x+4}{2010}+1\right)+\left(\frac{x+3}{2011}+1\right)=\left(\frac{x+2}{2012}+1\right)+\left(\frac{x+1}{2013}+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+2014\right)\left(\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=-2014\)

=>2012|x-2011|-|x-2011|+(x-2011)^2+2013>0

=>2011|x-2011|+(x-2011)^2+2013>0(luôn đúng)

Lời giải:

Ta có:

\(\left(\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2011}\right)(x-2013)>3x-6039\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2011}\right)(x-2013)-(3x-6039)>0\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2011}\right)(x-2013)-3(x-2013)>0\)

\(\Leftrightarrow (x-2013)\left(\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2011}-3\right)>0\)

Ta thấy:

\(\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2011}-3=1-\frac{1}{2012}+1-\frac{1}{2013}+1+\frac{2}{2011}-3\)

\(=\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013}>0\)

Do đó, để \( (x-2013)\left(\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2011}-3\right)>0\) thì \(x-2013>0\)

\(\Leftrightarrow x>2013\). Vì $x$ là số nguyên bé nhất nên $x=2014$