Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(z+x+y\right)^2}\ge16\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
Ta có \(xy+xz+yz=xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=\frac{xy+xz+yz}{xyz}\left(1\right)\)
Ta lại có \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
\(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}=\frac{x^2-yz-y^2+xz}{x\left(1-yz\right)-y\left(1-xz\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)}{x-y}=x+y+z\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\Leftrightarrow xy+xz+yz=xyz\left(x+y+z\right)\)
Vậy ta có đpcm
b) Áp dụng bđt bunhiacopski, ta có:
(xy + xz + yz)2 \(\le\)(x2 + y2 + z2)(x2 + y2 + z2)
hay : (x2 + y2 + z2) \(\ge\)42 = 16
Áp dụng bđt svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)
CMBĐT đúng: tự cm (áp dụng bđt bunhiacopsky để cm)
Khi đó: \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}=\frac{16}{3}\)
b, Theo bất đẳng thức Svacxo và bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)ta có :
\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=VP\left(đpcm\right)\)