(a+b)²-(a-b)²=4ab=>ab = \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)-\(\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^{2^{ }}\)là hiệu 2 số chính phương vì a≡b(mod 2) => a+b và a-b chia hết cho 2 nên \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) và \(\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^{2^{ }}\)là 2 số tự nhiên

Có \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-\left(x^3-y^3-z^3\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)

\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow\left(x+y\right);\left(y+z\right);\left(z+x\right)\) đều là ba số chẵn

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮8\)

mà (3;8)=1 và 3.8=24

\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮24\) (đpcm)

Có (x+y+z)3−(x3+y3+z3)(x+y+z)3−(x3+y3+z3)

=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)

=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)

=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2

=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]

=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]

=3(x+y)(y+z)(x+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)

Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ ⇒(x+y);(y+z);(z+x)⇒(x+y);(y+z);(z+x) đều là ba số chẵn

⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8

mà (3;8)=1 và 3.8=24

⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24 (đpcm)

(a)(2k+4)2−(2k)2=4k2+16k+16−4k2=16k+16=16(k+1)(2k+4)2−(2k)2=4k2+16k+16−4k2=16k+16=16(k+1) chia hết cho 16 (dpcm)

(b)(2k+7)2−(2k+1)2=4k2+28k+49−4k2−4k−1=24k+48=24(k+2)(2k+7)2−(2k+1)2=4k2+28k+49−4k2−4k−1=24k+48=24(k+2) chia hết cho 24 (dpcm)

(a)(2k+4)²−(2k)²=4k²+16k+16−4k²=16k+16=16(k+1)(2k+4)²−(2k)²=4k²+16k+16−4k²=16k+16=16(k+1) chia hết cho 16
 (đpcm)
(b)(2k+7)²−(2k+1)²=4k²+28k+49−4k²−4k−1=24k+48=24(k+2)(2k+7)²−(2k+1)²=4k²+28k+49−4k²−4k−1=24k+48=24(k+2) chia hết cho 24 (đpcm)

a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được).

b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ được).