Ta có: \(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)

\(=3.9^n-2^n.3+2^n.7\)

\(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7\)

Ta lại có: \(\hept{\begin{cases}9^n-2^n⋮9-2=7\\2^n.7⋮7\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7⋮7\)

\(\Rightarrow\left(3^{2n+1}+2^{n+2}\right)⋮7\left(đpcm\right)\)

\(3^{2n+1}=9^n.3\equiv2^n.3\left(\text{mod 7}\right);2^{n+2}=2^n.4\equiv2^n.\left(-3\right)\left(\text{mod 7}\right)\)

\(\Rightarrow3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv0\left(\text{mod 7}\right)\text{ta có điều phải chứng minh}\)

1)

a) Ta có: \(3n+2⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow3n-3+5⋮n-1\)

mà \(3n-3⋮n-1\forall n\)

nên \(5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(5\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

mà n∈N

nên \(n\in\left\{0;2;6\right\}\)

Vậy: Khi \(n\in\left\{0;2;6\right\}\) thì \(3n+2⋮n-1\)

b) Ta có: \(n^2+2n+7⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n\left(n+2\right)+7⋮n+2\)

mà \(n\left(n+2\right)⋮n+2\)

hay \(7⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\inƯ\left(7\right)\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{-1;-3;5;-9\right\}\)

mà n∈N

nên n=5

Vậy: Khi n=5 thì \(n^2+2n+7⋮n+2\)

2)

a) Ta có: \(2^{4n+2}+1\)

\(=2^{2\left(2n+1\right)}+1\)

\(=4^{2n+1}+1\)

Vì \(4^{2n+1}\) luôn có chữ số tận cùng là 4(2n+1 luôn lẻ ∀n∈N)

nên \(4^{2n+1}+1\) luôn có chữ số tận cùng là 5 ∀n∈N

hay \(2^{4n+2}+1⋮5\forall n\in N\)

em cảm ơn cj nhiều lắm

Ta có: (2n-3)n-2n(n+2)=2n^3-3n-2n^3-4n

                                    =-7n chia hết cho 7

Vậy (2n-3)n-2n(n+2) chia hết cho 7 với mọi số nguyên n (đpcm)

Ta có: 3^{2n + 1} = 3 . 9ⁿ \(\equiv\)3 . 2ⁿ (mod 7)

2^{n + 2}  = 4 . 2ⁿ \(\equiv\)4 . 2ⁿ (mod 7)

=> 3^{2n + 1} + 2^{n + 2} \(\equiv\)3 . 2ⁿ + 4 . 2ⁿ \(\equiv\)7 . 2ⁿ \(\equiv\)0 (mod 7) (ĐPCM)

Bài 1 : 

Có : P = n^2+n+2 = n.(n+1)+2

Ta thấy n và n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp

=> n.(n+1) có tận cùng là : 0 hoặc 2 hoặc 6

=> P có tận cùng là : 2 hoặc 4 hoặc 8 

=> P ko chia hết cho 5

=> ĐPCM

Tk mk nha

Bài 2 : 

Xét : A = a/3 + a^2/2 + a^3/6 = 2a^2+3a+a^3/6 = a.(a^2+2a+3)/6

= a.(a+1).(a+2)/6

Ta thấy a;a+1;a+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> a.(a+1).(a+2) chia hết cho 2 và 3

=> a.(a+1).(a+2) chia hết cho 6

=> A thuộc Z

Tk mk nha