Ta có : 

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)

\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên : 
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\) 

\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(n-2< S< n-1\)

Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên 

Vậy \(S\) không là số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

Câu 1:

A)

a) Để \(\frac{-5}{n-2}\)đạt giá trị nguyên thì \(-5⋮n-2\)

Vì \(-5⋮n-2\Rightarrow n-2\inƯ\left(-5\right)=\left(\pm1;\pm5\right)\) 

Ta có bảng giá trị:

Đối chiếu điều kiện \(n\inℤ\Rightarrow n\in\left(3;7;1;-3\right)\)

Đến câu b,c cậu cũng lí luận để chứng minh tử phải chia hết cho mẫu, còn tớ chỉ cần tách và đưa ra kết quả thôi nhé

b) Ta có:                   \(n-5⋮n+1\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)-6⋮n+1\)

\(\Rightarrow-6⋮n+1\)

Vì \(-6⋮n+1\Rightarrow n+1\inƯ\left(-6\right)=\left(\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right)\)

Ta có bảng giá trị:

Đối chiếu điều kiện \(n\inℤ\Rightarrow\left(0;1;2;5;-2;-3;-4;-7\right)\)

c) Ta có:                      \(3n+7⋮n-1\)

\(\Rightarrow3\left(n-1\right)+10⋮n-1\)

\(\Rightarrow10⋮n-1\)

Vì \(10⋮n-1\Rightarrow n-1\inƯ\left(10\right)=\left(1;-1;2;-2;5;-5;10;-10\right)\)

Ta có bảng giá trị:

Đối chiếu điều kiện \(n\inℤ\Rightarrow n\in\left(2;0;3;-1;6;-4;11;-9\right)\)

B)

a) Gọi d là ƯC (2n+1;2n+2) \(\left(d\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\2n+2⋮d\end{cases}}\)    \(\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\)     \(\Rightarrow1⋮d\)

                                                                                                            \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)2n+1 và 2n+2 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\frac{2n+1}{2n+2}\)là phân số tối giản

b) Gọi d là ƯC(2n+3;2n+5) \(\left(d\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\2n+5⋮d\end{cases}}\)        \(\Rightarrow\left(2n+5\right)-\left(2n+3\right)⋮d\) \(\Rightarrow2⋮d\) \(\Rightarrow d=\left(1;2\right)\)

Vì 2n+3 và 2n+5 không chia hết cho 2

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\)2n+5 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\frac{2n+3}{2n+5}\)là phân số tối giản

Bài 1:

Vì n nguyên nên để A nhận giá trị nguyên thì :

\(n+3⋮n-5\\ \Leftrightarrow n-5+8⋮n-5\\ \Rightarrow8⋮n-5\\ \Rightarrow n-5\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-8;8\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{4;6;3;7;1;9;-3;13\right\}\\ Vậy...\)

Bài 3;

Gọi \(UCLN_{\left(5n+1,20n+3\right)}=d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+1⋮d\\20n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+4⋮d\\20n+3⋮d\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left(20n+4\right)-\left(20n+3\right)⋮d\\ \Leftrightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\)

\(UCLN_{\left(5n+1,20n+3\right)}=1\\ \Rightarrow Phânsốđãchotốigiản\\ \RightarrowĐpcm\)

\(1.\)Để A nguyên thì

Vì n-5⋮n-5 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ n+3-n+5⋮n-5

⇒ 8⋮n-5

⇒ n-5 ∈ Ư(8) = \(\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\}\)

⇒ n∈\(\left\{6;4;7;3;9;1;13;-3\right\}\)

Vậy n∈\(\left\{6;4;7;3;9;1;13;-3\right\}\)thì A là số nguyên

Ta gọi UWCLN của 2n-1 và 4n+2 là d

Ta có 2n-1 chia het cho d vậy 4n-2 chia hết cho d

         4n+2 chia hết cho d vậy 4n+2-4n-2 chia het cho d

Vậy 4 chia hết cho d nên d=1 để 2n-1/4n+2 là tối giản

Vậy 2n-1/4n+2 là tối giản   

thì nó là tối giản rồi còn gì

nè mình

Bài 1 :

\(\frac{5}{x}-\frac{y}{3}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{5}{x}=\frac{1}{6}+\frac{y}{3}\)

\(\frac{5}{x}=\frac{1}{6}+\frac{2y}{6}\)

\(\frac{5}{x}=\frac{1+2y}{6}\)

=>  x ( 1+2y ) = 5 . 6 

=> x ( 2y+1 ) = 30 

=> x;2y+1 \(\in\) Ư(30)

vì 2y+1 là số lẻ nên 2y+1 \(\in\) {1;3;5;15;-1;-3;-5;-15}

             Ta có bảng 

Vậy các cặp x;y  tìm được là \(\hept{\begin{cases}x=30\\y=0\end{cases};\hept{\begin{cases}x=20\\y=2\end{cases}};\hept{\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases};\hept{\begin{cases}x=2\\y=7\end{cases}};}\hept{\begin{cases}x=-30\\y=-1\end{cases};}\hept{\begin{cases}x=-10\\y=-2\end{cases};\hept{\begin{cases}x=-6\\y=-3\end{cases};\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-8\end{cases}}}}}\) 

Bài 2 , b 

(3n+2) \(⋮\) n-1

=> 3(n-1) + 5 \(⋮\) n-1

Vì 3(n-1) \(⋮\) n-1  => 5 \(⋮\) n-1

hay n-1 \(\in\) Ư(5)= {1;5;-1;-5}

 n \(\in\) {2;6;0;-4}