Vì a + 1 và b + 2009 chia hết cho 6 nên a + b + 2010 chia hết cho 6.

Mà 2010 chia hết cho 6 nên a + b chia hết cho 6.

4^a không chia hết cho 6 nên 4^a + a + b không chia hết cho 6.

Bạn xem lại đề.

Sai đề rồi

Ta có: \(b+2019=\left(b+3\right)+2016\)(*)

Mà \(2016⋮6\)kết hợp với \(\left(^∗\right)⋮6\Rightarrow b+3⋮6\)

Lại có: a + 1 chia hết cho 6 nên \(\left(a+1\right)+\left(b+3\right)⋮6\)

\(\Rightarrow a+b+4⋮6\)

\(\Rightarrow a+b+4^a+\left(4-4^a\right)⋮6\)(1)

Xét a + 1 chia hết cho 6 nên a chia 6 dư 5.Đặt a = 6k + 5

\(\Rightarrow4-4^a=4-4^{6k+5}=4\left(1-4^{6k+4}\right)\)

Ta có:\(4\left(1-4^{6k+4}\right)⋮2\)

Mặt khác: \(1\text{≡}4\left(mod3\right)\)và \(4^{6k+4}\text{≡}4\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(1-4^{6k+4}\right)⋮3\)

Lúc đó \(4\left(1-4^{6k+4}\right)⋮6\)(vì (2,3)=1) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a+b+4^a⋮6\left(đpcm\right)\)

\(a+1\text{ ≡ }0\left(mod6\right)\)

\(b+2013\text{ ≡ }0\left(mod6\right)\)

\(\Rightarrow a+b+2014\text{ ≡ }0\left(mod6\right)\)

\(\Rightarrow a+b\text{ ≡ }2\left(mod6\right)\)

Giờ ta cần chứng minh \(4^a\text{ ≡ }4\left(mod6\right)\)

Với \(a=1\Rightarrow4^a=4\text{ ≡ }4\left(mod6\right)\)

Đặt \(4^k\text{ ≡ }4\left(mod6\right)\left(k>1\right)\) 

Ta sử dụng quy nạp , chứng minh \(4^{k+1}\)cũng chia 6 dư 4.

Ta có :

\(4^k\text{ ≡ }4\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow4^{k+1}\text{ ≡ }16\text{ ≡ }4\left(mod6\right)\)

\(\Rightarrow4^a\)luôn chia 6 dư 4.

\(\Rightarrow4^a+a+b\text{ ≡ }6\text{ ≡ }0\left(mod6\right)\)

Vậy ...

Câu hỏi của Nguyễn Thanh Hà - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

mình ché trên mạng

 a. Ta xét a = 1 
=> a + b^2 = b^2 + 1 = (b^2 - 1) + 2 chia hết cho (b - 1) 
=> 2 chia hết cho (b - 1) 
=> b = 2 hoặc b = 3 

(a, b) = (1, 2), (1, 3) thỏa mãn 

b. ta xét a = 2 
=> a + b^2 = b^2 + 2 chia hết cho (4b - 1) 
=> 4b^2 + 8 chia hết cho (4b - 1) 
=> (4b^2 - b) + (b + 8) chia hết cho (4b - 1) 
=> (b + 8) chia hết cho (4b - 1) * 
Ta thấy * thỏa mãn khi b = 1 hoặc b = 3, với b > 3 ta có (4b - 1) > b + 8 
nên b + 8 không chia hết cho (4b - 1) 

Thử lại ta thấy (a, b) = (2, 1), (2, 3) thỏa mãn 

c. Ta xét a > 2 

không thể có b = 1 vì lúc đó ta có 
a^2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 > 2*(2 - 1) - 2 = 0 
=> a + 1 < a^2 - 1 
=> a + 1 không thể chia hết cho a^2 - 1 

tiếp theo ta xét b >= 2 

c.1. xét a > b 
a*[a*(b - 1) - 1] >= a*[a*(2 - 1) - 1] = a*(a - 1) > 2*(2 - 1) = 2 > 1 
=> a^2(b - 1) - a > 1 
=> a^2b - 1 > a + a^2 > a + b^2 
=> a + b^2 không thể chia hết cho a^2b - 1 

c.2. xét a = b 
a^3 - 1 = (a - 1)(a ^2 + a + 1) > (a ^2 + a + 1) > a + a^2 
=> a + a^2 không chia hết cho a^3 - 1 

c.3 xét a < b 
"(a + b^2) chia hết cho (a^2b - 1)" 
<=> "(a^3 + a^2*b^2) chia hết cho (a^2b - 1)" 
<=> "(a^3 + b) + b*(a^2*b - 1) chia hết cho (a^2b - 1)" 
<=> "(a^3 + b) chia hết cho (a^2b - 1)" ** 
Ta cm ** sai 

(a + 1)(a^2 - 1) = (a + 1)(a^2 - a + a - 1) > (a + 1)(a^2 - a + 1) (do a - 1 > 1) = a^3 + 1 
=> b >= (a + 1) > (a^3 + 1)/(a^2 - 1) 
=> b(a^2 - 1) > a^3 + 1 
=> a^2b - 1 > a^3 + b 
vậy (a^3 + b) không thể chia hết cho (a^2b - 1) tức ** sai. 

*mina*

cách hay mà, sai đâu

Ta có: 100a là số chính phương 

mà: \(100a=10^2a\)

=> a là số chính phương

Đặt \(a=k^2\)với k thuộc N

a chia hết cho 6 => k^2 chia hết cho 6=> k^2 chia hết cho 2 và chia hết cho 3 

Vì 2, 3 là 2 số nguyên tố => k chia hết cho 2 và 3 => k chia hết cho 6

Mặt khác a là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên đề bài

=> k =6 ( k khác 0 vì a là số nguyên dương)

=> a=k^2=36

tự túc là hạnh phúc