Cả 2 biểu thức này đều ko tồn tại GTNN

GTNN chỉ tồn tại khi có thêm điều kiện, với \(\dfrac{x^2}{x+3}\) thì điều kiện là \(x>-3\), còn \(\dfrac{x^2}{x-2}\) thì điều kiện là \(x>2\)

viết thiếu, rời mới nhận ra

\(M=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\)

\(=3\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge3\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=12+2=14\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

A = \(\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{27}}\)

dấu bằng xảy ra khi x = \(\sqrt[5]{3}\)

\(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)

Có \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-\left(x^3-y^3-z^3\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)

\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow\left(x+y\right);\left(y+z\right);\left(z+x\right)\) đều là ba số chẵn

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮8\)

mà (3;8)=1 và 3.8=24

\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮24\) (đpcm)

Có (x+y+z)3−(x3+y3+z3)(x+y+z)3−(x3+y3+z3)

=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)

=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)

=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2

=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]

=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]

=3(x+y)(y+z)(x+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)

Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ ⇒(x+y);(y+z);(z+x)⇒(x+y);(y+z);(z+x) đều là ba số chẵn

⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8

mà (3;8)=1 và 3.8=24

⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24 (đpcm)