a) Ta có A = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²²

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²³

2A - A = ( 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²³ ) - ( 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²² )

A = 2²⁰²³ - 2

Lại có B = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²²

5B = 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²³

5B - B = ( 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰²³ ) - ( 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰²² )

4B = 5²⁰²³ - 5

B = \(\dfrac{5^{2023}-5}{4}\)

b) Ta có : A + 2 = 2^x

⇒ 2²⁰²³ - 2 + 2 = 2^x

⇒ 2²⁰²³ = 2^x

Vậy x = 2023

Lại có : 4B + 5 = 5^x

⇒ 4 . \(\dfrac{5^{2023}-5}{4}\) + 5 = 5^x

⇒ 5²⁰²³ - 5 + 5 = 5^x

⇒ 5²⁰²³ = 5^x

Vậy x = 2023

Lời giải:

Gọi vế trái là $A$

$2A=\frac{2}{2^2}+\frac{2}{4^2}+\frac{2}{6^2}+...+\frac{2}{2022^2}$

Xét số hạng tổng quát:

$\frac{2}{n^2}$. Ta sẽ cm $\frac{2}{n^2}< \frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}(*)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{n+1+n-1}{n(n-1)(n+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{2}{(n-1)(n+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{2}{n^2-1}$ (luôn đúng)

Thay $n=2,4,...., 2022$ vào $(*)$ ta có:

$\frac{2}{2^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}$

$\frac{2}{4^2}< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}$

.......

Suy ra: $2A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{2022.2023}$

$2A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}$

$2A< 1-\frac{1}{2023}< 1$

$\Rightarrow A< \frac{1}{2}$

a = |2x-1/3|-7/4

   Do |2x-1/3| \(\ge\) 0

         |2x-1/3|-7/4 \(\ge\)  7/4 

Dấu = xảy ra <=> 2x-1/3=0. =>. x= 1/6

b    1/3|x-2|+2|3-1/2 y|+4

 Do |x-2| \(\ge\) 0

      |3-1/2y| \(\ge\) 0

   => 1/3|x-2|+2|3-1/2 y|+4 \(\ge\) 4

Dấu = xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\3-\dfrac{1}{2}y=0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\)

a: Ta có: \(\left|2x-\dfrac{1}{3}\right|\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left|2x-\dfrac{1}{3}\right|-\dfrac{7}{4}\ge-\dfrac{7}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{6}\)

b: Ta có: \(\dfrac{1}{3}\left|x-2\right|\ge0\forall x\)

\(2\left|3-\dfrac{1}{2}y\right|\ge0\forall y\)

Do đó: \(\dfrac{1}{3}\left|x-2\right|+2\left|3-\dfrac{1}{2}y\right|\ge0\forall x,y\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2\right|\cdot\dfrac{1}{3}+\left|3-\dfrac{1}{2}y\right|\cdot2+4\ge4\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2 và y=6

\(A=\dfrac{3\left(n-1\right)+5}{n-1}=3+\dfrac{5}{n-1}\in Z\\ \Leftrightarrow n-1\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{-4;0;2;6\right\}\)

thank

1: \(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z+7}{5}\)

mà x+y-z=8

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z+7}{5}=\dfrac{x-1+y-2-z-7}{3+4-5}=\dfrac{8-3-7}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\cdot3=-3\\y-2=-1\cdot4=-4\\z+7=-1\cdot5=-5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-2\\z=-12\end{matrix}\right.\)

2: \(\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-3}{5}\)

mà 3x+2y=47-42=5

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-3}{5}=\dfrac{3x+3+2y+4}{3\cdot3+2\left(-4\right)}=\dfrac{5+7}{9-8}=12\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=12\cdot3=36\\y+2=-12\cdot4=-48\\z-3=12\cdot5=60\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=35\\y=-48-2=-50\\z=60+3=63\end{matrix}\right.\)