Ta biết rằng số nguyên tố lớn hơn 3 thì có 1 trong 2 dạng sau: \(6k+1;6k-1\)

Xét số nguyên tố có dạng: \(6k+1\)

Nếu k chẵn thì \(6k+1\)chia cho 12 dư 1.

Nếu k lẻ thì \(6k+1\)chia cho 12 dư 7.

Xét số nguyên tố dạng \(6k-1\)

Nếu k chẵn thì \(6k-1\)chia cho 12 dư 11.

Nếu k lẻ thì \(6k-1\)chia cho 12 dư 5.

\(\Rightarrow\)Số nguyên tố khi chia cho 12 thì có các số dư như sau: \(1;2;3;5;7;11\)

Từ đây ta thấy rằng trong 7 số nguyên tố bất kỳ sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chi cho 12. Nên hiệu hai số đó sẽ chia hết cho 12.

Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12

nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11

) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet) 

Cho dù 2016 số có là số nào thì cũng đều có dạng \(n;n+1;n+2;...;n+2016\)

Và ta có \(n+2016-n=2015⋮2015\)

Như vậy trong 2016 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho 2015

Quên, phải lấy \(n+2015-n=2015\) chứ.

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 

2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮42n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

(n+1)+(2n+1)=3n+2(n+1)+(2n+1)=3n+2

Ta thấy

3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)

Suy ra

(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó

n⋮3n⋮3

Vậy ta có đpcm.

bạn vào  https://h.vn/hoi-dap/quesion/129628.html

Bấm vào đây bạn nhé 

https://olm.vn/hoi-dap/question/110524.html

Ở trong sách