a) Chứng minh tứ giác IEHFIEHF nội tiếp được đường tròn.

Ta có ∠AEB=∠AFB=900∠AEB=∠AFB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ;

⇒AE⊥EB,AF⊥EB⇒AE⊥EB,AF⊥EB hay BE⊥AI;AF⊥BI⇒∠IEH=∠IFH=900BE⊥AI;AF⊥BI⇒∠IEH=∠IFH=900.

Xét tứ giác IEHFIEHF có: ∠IEH+∠IFH=900+900=1800⇒∠IEH+∠IFH=900+900=1800⇒ Tứ giác IEHFIEHF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800).

b) Chứng minh ∠AIH=∠ABE∠AIH=∠ABE.

Cách 1:

Ta có IEHFIEHF là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒∠EIH=∠EFH⇒∠EIH=∠EFH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EHEH)

Hay ∠AIH=∠EFA.∠AIH=∠EFA.

Mà ∠EBA=∠EFA∠EBA=∠EFA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AFAF của (O)(O))

⇒∠AIH=∠ABE(=∠EFH).(dpcm)⇒∠AIH=∠ABE(=∠EFH).(dpcm)

Cách 2:

Xét tam giác IABIAB có hai đường cao AF,BEAF,BE cắt nhau tại H⇒HH⇒H là trực tâm tam giác IABIAB.

⇒IH⊥AB⇒IH⊥AB hay IK⊥ABIK⊥AB tại KK.

Xét tam giác vuông AIKAIK có: ∠AIK+∠IAK=900⇔∠AIH+∠IAB=900∠AIK+∠IAK=900⇔∠AIH+∠IAB=900.

Xét tam giác vuông ABEABE có: ∠ABE+∠EAB=900⇔∠ABE+∠IAB=900∠ABE+∠EAB=900⇔∠ABE+∠IAB=900.

Do đó ∠AIH=∠ABE∠AIH=∠ABE.

c) Chứng minh cos∠ABP=PK+BKPA+PBcos⁡∠ABP=PK+BKPA+PB.

Nối PA,PBPA,PB ta có ∠APB=900∠APB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác BPKBPK và tam giác BAPBAP có:

∠ABP∠ABP chung;

∠BKP=∠BPA=900;∠BKP=∠BPA=900;

⇒ΔBPK∼ΔBAP(g.g)⇒PKPA=BKPB⇒ΔBPK∼ΔBAP(g.g)⇒PKPA=BKPB (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: PKPA=BKPB=PK+BKPA+PBPKPA=BKPB=PK+BKPA+PB (1).

Xét tam giác vuông BKPBKP ta có: cos∠ABP=cos∠KPB=BKPBcos⁡∠ABP=cos⁡∠KPB=BKPB (2).

Từ (1) và (2) ta có cos∠ABP=PK+BKPA+PBcos⁡∠ABP=PK+BKPA+PB.

d) Gọi SS là giao điểm cuả tia BFBF và tiếp tuyến tại AA của nửa đường tròn (O)(O). Khi tứ giác AHISAHIS nội tiếp được đường tròn, chứng minh EFEF vuông góc với EKEK.

Xét tứ giác AEHKAEHK có: ∠AEH+∠AKH=900+900=1800⇒∠AEH+∠AKH=900+900=1800⇒ Tứ giác AEHKAEHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800).

⇒∠HEK=∠HAK=FAB⇒∠HEK=∠HAK=FAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HKHK);

Lại có ∠FAB=∠FEB∠FAB=∠FEB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FBFB của (O)(O));

⇒∠HEK=∠FEB⇒EB⇒∠HEK=∠FEB⇒EB là phân giác của ∠FEK∠FEK ⇒∠FEK=2∠FEB=2∠FAB⇒∠FEK=2∠FEB=2∠FAB (3).

Ta có: {IH⊥AB(cmt);SA⊥AB(gt)⇒IH//SA⇒{IH⊥AB(cmt);SA⊥AB(gt)⇒IH//SA⇒ Tứ giác AHISAHIS là hình thang (Tứ giác có 2 cạnh đối song song).

Khi AHISAHIS là tứ giác nội tiếp thì ∠SAH+∠SIH=1800∠SAH+∠SIH=1800 (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) ;

Mà ∠SAH+∠AHI=1800∠SAH+∠AHI=1800 (hai góc trong cùng phía bù nhau) ;

⇒∠SIH=∠AHI⇒⇒∠SIH=∠AHI⇒ Tứ giác AHISAHISlà hình thang cân.

Do đó ∠ISA=∠SAH∠ISA=∠SAH (Tính chất hình thang cân) hay ∠BSA=∠SAF∠BSA=∠SAF.

Mà ∠SAF=∠SBA∠SAF=∠SBA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AFAF );

⇒∠BSA=∠SBA⇒ΔSAB⇒∠BSA=∠SBA⇒ΔSAB vuông cân tại A⇒∠SBA=450A⇒∠SBA=450.

⇒ΔFAB⇒ΔFAB vuông cân tại F⇒∠FAB=450F⇒∠FAB=450 (4).

Từ (3) và (4) ta có ∠FEK=2∠FAB=2.450=900∠FEK=2∠FAB=2.450=900.

Vậy khi tứ giác AHISAHIS nội tiếp được đường tròn, chứng minh EFEF vuông góc với EKEK(đpcm).

a, ta có : góc AEB = 90 độ

suy ra góc HEI = 90 độ

tương tự ta có góc HFI = 90 độ

suy ra : góc HEI + góc HFI = 180 độ 

suy ra IEHF nội tiếp đường tròn

b, góc AIH = AFE

mà góc ABE = góc AFE

suy ra góc AIH = góc ABE

1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 90⁰

=> ^CNE = 180⁰ - ^CNB = 90⁰. Xét tứ giác CDNE có:

^CDE = ^CNE = 90⁰ => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).

2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 90⁰

=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:

BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC

=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 90⁰) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).

3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.

Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 90⁰ => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)

Tương tự: ^NBK = ^NDK     (2)

Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN

Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)

Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)

Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH

=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF

Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)

Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:

^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)

=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)

Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)

Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)

\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 90⁰

=> ^DBF + ^DCH = 90⁰ => CH vuông góc BF.

Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB

=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 90⁰

=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)

=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP

Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 90⁰ => ^DCP + ^DHP = 180⁰

=> ^HMP + ^DHP = 180⁰ hay ^HMP + ^KHP = 180⁰ => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn

=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.

Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB

=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)

=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP

Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP

=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)

I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d

OC vuông góc d => OC // IF (8)

Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))

=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)

=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)

Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.

a) Gọi I là điểm chính giữa cung AB => IA = IB 

Trên tia đối tia IB và tia MB lấy điểm Q  và N sao cho: QI = IB và NM = MA 

Ta có: \(\Delta\)AMN vuông cân tại M

=> ^ANB = ^ANM = 45 độ  (1) 

\(\Delta\)ABQ  có AI = IB = IQ

=> \(\Delta\)ABQ vuông cân tại A 

=> ^AQB = 45 độ  (2) 

Từ (1); (2) => ^AQB = ^ANB 

=> ANQB nội tiếp

=> ^QNB = ^QAB = 90 độ 

=> \(\Delta\)BNQ vuông cân tại N 

=> \(MA+MB=MN+MB=NB\le BQ=IB+IQ=IB+IA\)không đổi

=> \(\frac{1}{MA}+\frac{1}{MB}\ge\frac{4}{MA+MB}\ge\frac{4}{IA+IB}\)

Dấu "=" xảy ra <=> MA = MB; MA + MB = IA + IB mà IA = IB => M trùng I hay M nằm giữa cung AB

Link ảnh: file:///C:/Users/THAOCAT/Pictures/Screenshots/Screenshot%20(1222).png

a) Gọi U là giao điểm của AD và BM

Dễ có: \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\)(các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta ACU\)vuông tại C

và \(\Delta ABU\)cân tại B (có BD vừa là đường cao vừa là phân giác) => D là trung điểm của AU

\(\Delta ACU\)vuông tại C có CD là trung tuyến (cmt) nên CD = AD => \(\widehat{CAD}=\widehat{ABD}\)(góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

b) \(\Delta ABU\)có ID là đường trung bình nên ID // BU hay IK // BM

\(\Delta ABM\)có I là trung điểm của AB, IK // BM nên K là trung điểm của AM

\(\Delta ACM\)vuông tại C có CK là trung tuyến nên \(CK=\frac{1}{2}AM\)(đpcm)

c) Ta có: \(AC+BC\le\sqrt{2\left(AC^2+BC^2\right)}=\sqrt{2AB^2}=2\sqrt{2}R\)

\(\Rightarrow AB+AC+BC\le\left(2\sqrt{2}+2\right)R\)

Vậy chu vi tam giác ABC lớn nhất bằng \(\left(2\sqrt{2}+2\right)R\)đạt được khi AC = BC hay AB = AM = 2R