Bài 3. 

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a+b+c\right)=-\dfrac{1}{24}\left(1\right)\\c\left(a+b+c\right)=-\dfrac{1}{72}\left(2\right)\\b\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{16}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(a,b,c\ne0\Rightarrow a+b+c\ne0\)

Chia (1) cho (2), ta được \(\dfrac{a}{c}=3\Rightarrow a=3c\left(4\right)\)

Chia (2) cho (3) ta được: \(\dfrac{c}{b}=-\dfrac{2}{9}\Rightarrow b=-\dfrac{9}{2}c\left(5\right)\).

Thay (4), (5) vào (2), ta được: \(-\dfrac{1}{2}c^2=-\dfrac{1}{72}\)

\(\Rightarrow c=\pm\dfrac{1}{6}\).

Với \(c=\dfrac{1}{6}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3c=\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{9}{2}c=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Với \(c=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3c=-\dfrac{1}{2}\\b=-\dfrac{9}{2}c=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\left(a;b;c\right)=\left\{\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{6}\right);\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4};-\dfrac{1}{6}\right)\right\}\)

Bài 1:

a) Gọi hai số cần tìm là a và b \(\left(b\ne0\right)\)

Theo đề bài ta có:

\(a\times b=a:b=a\times\frac{1}{b}\)

Vậy thì \(b=\frac{1}{b}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}}\)

Với b = 1, ta có: \(a+1=a\)  (Vô lý)

Với b = -1, ta có: \(a-1=a\)  (Vô lý)

Vậy không có số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện.

b) 

Gọi hai số cần tìm là a và b \(\left(b\ne0\right)\)

Theo đề bài ta có:

\(a\times b=a:b=a\times\frac{1}{b}\)

Vậy thì \(b=\frac{1}{b}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\\b=-1\end{cases}}\)

Với b = 1, ta có 2 trường hợp:

TH1: \(a+1=a\)  (Vô lý)

TH2: \(1-a=a\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)   

Với b = -1, ta có 2 trường hợp:

TH1:  \(a-1=a\)  (Vô lý)

TH2: \(-1-a=a\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}\)

Vậy có hai cặp số thỏa mãn điều kiện: \(\left(-1;-\frac{1}{2}\right);\left(1;\frac{1}{2}\right)\)

Bài 2:

\(\frac{m}{4}-\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow mn-4=2n\)

\(\Leftrightarrow mn-2n=4\Leftrightarrow n\left(m-2\right)=4\)

Do n nguyên nên \(n\inƯ\left(4\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

Ta có bảng:

Vậy các cặp số (m;n) thỏa mãn là: \(\left(1;-4\right);\left(0;-2\right);\left(-2;-1\right);\left(6;1\right);\left(4;2\right);\left(3;4\right)\)

1) Ta có : \(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111a+111b+111c=111\left(a+b+c\right)=3.37.\left(a+b+c\right)\)

Giải sử S là số chính phương 

=> 3(a + b + c )  \(⋮\)  37 

   Vì 0 < (a + b + c ) \(\le27\)

=> Điều trên là vô lý 

Vậy S không là số chính phương

2/            Gọi số đó là abc

Có: \(\overline{abc}-\overline{cba}=\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)\)

\(=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99\left(a-c\right)\)

Sau đó phân tích 99 ra thành các tích của các số và tìm \(a-c\) sao cho \(99\left(a-c\right)\)là một số chính phương (\(a;c\in N\)và \(a-c\le9\)