Tham Khảo :

Xét `△BEM` và `△ CFM`:

\(\widehat{MEB}=\widehat{CFM}\)

`BM = MC`

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)

`=>△BEM = △ CFM`

`=> BE = FC`

Ta có:

` AB = AE + EB`

` AC = AF + FC`

Mà `AB = AC` (vì △ABC cân tại A) 

`EB = FC (cmt)`

`=> AE = AF`

`=>` △AEF` cân tại A

Xét `△AEM` và `△AFM` có:

AE = AF

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}\)

AM cạnh chung

`=>  △AEM =△AFM`

`=>` \(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)

`=> AM là đường phân giác

Xét △AEF cân tại A có:

AM là đường phân giác

`=>` AM là trung trực của BC

b) Ta có: △AEM =△AFM

=> ME = MF

Xét △AEF cân tại A có:

AM là đường phân giác

=> AM là đường trung trực của EF

a) xét ΔABM và ΔACM có

góc B = góc C 

AB = AC ( ΔABC cân tại A )

BM=CM ( tính chất các đường của Δ cân từ đỉnh )

=> ΔABM = ΔACM  

b) xét ΔBME và ΔCMF có

góc B bằng góc C 

BM=CM

=> ΔBME=ΔCMF ( cạnh huyền góc nhọn )

=> FM = EM 

=> ΔEMF cân tại M

c) gọi giao của EF và AM là O 

ta có BE = CF => AE=AF

=> ΔAEF cân tại A 

ta có AM là tia phân giác của góc A 

mà O nằm trên AM suy ra AO cũng là tia phân giác của góc A 

ta lại có ΔAEF cân tại A 

suy ra AO vuông góc với EF

suy ra AM vuông góc với EF

xét ΔAEF và ΔABC có 

EF và BC đều cùng vuông góc với AM => EF // BC 

a) Xét ΔABM và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AM chung

BM=CM(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔABM=ΔACM(c-c-c)

b) Xét ΔEMB vuông tại E và ΔFMC vuông tại F có 

BM=CM(M là trung điểm của BC)

\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEMB=ΔFMC(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: ME=MF(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔEMF có ME=MF(cmt)

nên ΔEMF cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

                                              Bài làm :

a) Xét tam giác BEM và tam giác CFM

Ta có:  BM = MC ( vì M là trung điểm của BC)

           M là góc chung

Do đó : tam giác BEM=CFM( cạnh huyền- góc nhọn)

 b) Bạn ghi chưa hết đề nên mik ko hiểu 

sorry 

nhớ tick cho mik nha

Mình xin phép sửa đề:

Cho tam giac ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh ME = MF và AM là đường trung trực của EF.

\(\text {(1)}\)

Xét Tam giác `ABM` và Tam giác `ACM` có:

`AB = AC (\text {Tam giác ABC cân tại A})`

\(\widehat {B}= \widehat {C}(\text {Tam giác ABC cân tại A})\)

`MB = MC (\text {M là trung điểm của BC})`

`=> \text {Tam giác ABM = Tam giác ACM (c-g-c)}`

`->`\(\widehat {BAM}=\widehat {CAM} (\text {2 góc tương ứng})\)

Xét Tam giác `AEM` và Tam giác `AFM` có:

`\text {AM chung}`

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM} (CMT)\)

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM} (=90^0)\)

`=> \text {Tam giác AEM = Tam giác AFM (ch-gn)}`

`-> ME = MF (2 cạnh tương ứng)`

\(\left(2\right)\) 

Gọi `I` là giao điểm của `AM` và `EF`

C1:

Vì Tam giác `AEM =` Tam giác `AFM (\text {Theo CMT})`

`-> AE = AF (\text {2 cạnh tương ứng})`

Xét Tam giác `AEI` và Tam giác `AFI` có:

`AE = AF (CMT)`

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI} (\text {Theo CMT})\)

`\text {AI chung}`

`=> \text {Tam giác AEI = Tam giác AFI (c-g-c)}`

`-> IE = IF (\text {2 cạnh tương ứng})`

`->`\(\widehat{AIE}=\widehat{AIF} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{AIE}+\widehat{AIF}=180^0\)

`->`\(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {AI} \bot \text {EF}`

\(\text{Ta có: }\left\{{}\begin{matrix}\text{IE = IF }\\\text{AI}\perp\text{EF}\end{matrix}\right.\)

`-> \text {AI là đường trung trực của EF}`

`-> \text {AM là đường trung trực của EF}`

C2 (nếu bạn đã học về tính chất của tam giác cân với các đường Trung Tuyến, Đường Cao, Đường Trung Trực) :

Ta có: 

AM vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến

`*` Theo tính chất của tam giác cân

`-> \text {AM là đường trung trực của EF (đpcm)}`

`@`\(\text{dnammv}\)

Sửa đề: Đường trung tuyến AM

a: Xét ΔBEM vuông tại E và ΔCFM vuông tại F có

MB=MC

góc B=góc C

=>ΔBEM=ΔCFM

b: ΔBEM=ΔCFM

=>BE=CF và ME=MF

AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà EB=FC và AB=AC

nên AE=AF

mà ME=MF

nên AM là trung trực của EF

c: Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC

nên EF//BC

a: ΔBEM=ΔCFM

b: AM là trung trực của EF

c: EF//BC

a là j ạ

b) ta có tam giác ABC cân

=> \(\widehat{B}=\widehat{C}=180-\widehat{A}\)  (1)

mà AM là trung tuyến => AM cx là phân giác và AM cx là đường cao (t/c tam giác cân)

=>\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

xét tam giác AEM và tam giác AfM

có AM chung

\(\widehat{E}=\widehat{F}\)=90^o

\(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

=> tam giác AEM =tam giác AFM (CH-GN)

=> AE =AC (2 cạnh tương ứng)

=> tam giác AEF cân ở \(​​\widehat{A}\)

=> \(\widehat{E}=\widehat{F}=180-\widehat{A}\) (2)

từ 1 và 2 =>\(\widehat{E}=\widehat{B}\) mà 2 góc ở vt đồng vị 

=> EF // BC 

mà AM ⊥ BC 

=> EF ⊥ AM

=> AM là trung trực của EF (t/c tam giác cân)