a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

\(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow S_{ABC}=2\cdot S_{MNP}=2\cdot15=30\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: \(MN=\dfrac{BC}{2}=6\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

P là trung điểm của BC

Do đó: MP là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: \(MP=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AC

P là trung điểm của BC

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: \(NP=\dfrac{AB}{2}=4\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác MNP là:

C=MN+MP+NP=4+5+6=15(cm)

Bài 2:

D là điểm đối xứng của C qua B nên \(BC=BD\)

Lại có \(AB=BC=10\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{CD}{2}\)

Do đó tam giác ADC vuông tại A

Theo định lí Pitago ta có:

\(AD^2=DC^2-AC^2=20^2-16^2=144\)

\(\Rightarrow AD=12\left(cm\right)\)

Bài 3:

Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//BC hay MN//PH

Do đó MNPH là hình thang

Xét tg AHC vuông tại H có HN là trung tuyến ứng vs ch AC nên \(HN=\dfrac{1}{2}AC\)

Mà P,M là trung điểm BC,AB nên PM là đtb tg ABC

Do đó \(PM=\dfrac{1}{2}AC\)

Từ đó ta được PM=HN

Vậy MNPH là hình thang cân