Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: 

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\left(1\right)\)

\(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\left(2\right)\)

\(\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{DB}{DC}\cdot\frac{EC}{AE}\cdot\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{AC\cdot BA\cdot CB}=1\)

=> ĐPCM

Nguồn: SGK

AD,BE,CF không là các đường phân giác vẫn đúng,miễn sao chúng đồng quy là OK ! 

Sửa đề: Chứng minh \(\frac{DB}{DC}\cdot\frac{EC}{EA}\cdot\frac{FA}{FB}=1\)

Xét \(\Delta\)ABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)

Xét \(\Delta\)ABC có BE là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)

Xét \(\Delta\)ABC có CF là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)

Ta có: \(\frac{DB}{DC}\cdot\frac{EC}{EA}\cdot\frac{FA}{FB}\)

\(=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}\)

\(=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB\cdot AC\cdot BC}=1\)(đpcm)

Câu 1: (Hinh 1)

a) Gọi AO giao BC tại T. Áp dụng ĐL Thales, hệ quả ĐL Thales ta có các tỉ số:

\(\frac{AK}{AB}=\frac{CM}{BC};\frac{CF}{CA}=\frac{OM}{CA}=\frac{TO}{TA}=\frac{TE}{TB}=\frac{TM}{TC}=\frac{TE+TM}{TB+TC}=\frac{ME}{BC}\)

Suy ra \(\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{CM+BE+ME}{BC}=1\)(đpcm).

b) Dễ có \(\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB};\frac{FH}{BC}=\frac{BE+CM}{BC};\frac{MK}{CA}=\frac{BM}{BC}\). Từ đây suy ra:

\(\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=\frac{CE+BM+BE+CM}{BC}=\frac{2\left(BE+ME+CM\right)}{BC}=2\)(đpcm).

Câu 2: (Hình 2)

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Khi đó dễ thấy \(\Delta\)CAE cân tại A.

Áp dụng hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\) hay \(\frac{AD}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow AD=\frac{c.CE}{b+c}\)

Vì \(CE< AE+AC=2b\)(BĐT tam giác) nên \(AD< \frac{2bc}{b+c}\)(đpcm).

Câu 3: (Hình 3)

Gọi M và D thứ tự là trung điểm cạnh BC và chân đường phân giác ứng với đỉnh A của \(\Delta\)ABC.

Do G là trọng tâm \(\Delta\)ABC nên \(\frac{AG}{GM}=2\). Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có:

\(\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}=\frac{BA+CA}{BD+CD}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)

Suy ra \(\frac{IA}{ID}=\frac{GA}{GM}\left(=2\right)\). Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)AMD ta được IG // BC (đpcm).

a) Ta có: \(\dfrac{DB}{DC}\cdot\dfrac{EC}{EA}\cdot\dfrac{FA}{FB}\)

\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}\)

=1

Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BO, CO kéo dài tại P và Q

Theo định lý Thales ta có: \(\frac{DB}{DC}=\frac{AP}{AQ},\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AP},\frac{FA}{FB}=\frac{AQ}{BC}\)

Nhân 3 đẳng thức vs nhau ta đc: 

\(\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AP}{AQ}.\frac{BC}{AP}.\frac{AQ}{BC}=1\) ( ĐPCM)