\(1\le1+\sqrt{1-x^2}\le2\Rightarrow3\le3^{1+\sqrt{1-x^2}}\le9\)

Đặt \(3^{1+\sqrt{1-x^2}}=t\Rightarrow t\in\left[3;9\right]\)

Phương trình trở thành: \(t^2-\left(m+2\right)t+2m+1=0\) 

\(\Leftrightarrow t^2-2t+1=m\left(t-2\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{t^2-2t+1}{t-2}\) trên \(\left[3;9\right]\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{t^2-4t+3}{\left(t-2\right)^2}\ge0\) ; \(\forall t\in\left[3;9\right]\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên khoảng đã cho

\(\Rightarrow f\left(3\right)\le f\left(t\right)\le f\left(9\right)\Rightarrow4\le m\le\dfrac{64}{7}\)

Có 6 giá trị nguyên của m 

Cho e hỏi tại sao điều kiện lại nằm trong khoảng [1,2] vậy ạ ?

Đáp án A

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.2^xlogx-12logx-2^x+4=0\left(1\right)\\5^x=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) và \(5^x\ge m\) (\(x>0\))

Xét (1):

\(\Leftrightarrow3logx\left(2^x-4\right)-\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3logx-1\right)\left(2^x-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=\sqrt[3]{10}\end{matrix}\right.\)

\(y=5^x\) đồng biến trên R nên (2) có tối đa 1 nghiệm

 Để pt đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  ta có các TH sau:

TH1: (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m\le0\) (ko có số nguyên dương nào)

TH2: (2) có nghiệm (khác với 2 nghiệm của (1)), đồng thời giá trị của m khiến cho đúng 1 nghiệm của (1) nằm ngoài miền xác định

(2) có nghiệm \(\Rightarrow m>0\Rightarrow x_3=log_5m\)

Do \(\sqrt[3]{10}>2\) nên bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_3< x_2\)

\(\Rightarrow2< log_5m< \sqrt[3]{10}\)

\(\Rightarrow25< m< 5^{\sqrt[3]{10}}\) (hơn 32 chút xíu)

\(\Rightarrow\) \(32-26+1\) giá trị nguyên

Chọn A

Đáp án : A.

ĐKXĐ: \(-x^2+4x+m>0\)

\(log_2\left(-x^2+4x+m\right)-log_2\left(x^2+2\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+4x+m>0\\-x^2+4x+m< 3x^2+6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>x^2-4x\\m< 4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[1;5\right]\)

Xét hai hàm \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x^2-4x\\g\left(x\right)=4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) trên \(\left[1;5\right]\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)_{max}=f\left(5\right)=5\\g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5\le m\le6\)

Có 2 giá trị nguyên của m

Đáp án D

Ta có

14.

\(log_aa^2b^4=log_aa^2+log_ab^4=2+4log_ab=2+4p\)

15.

\(\frac{1}{2}log_ab+\frac{1}{2}log_ba=1\)

\(\Leftrightarrow log_ab+\frac{1}{log_ab}=2\)

\(\Leftrightarrow log_a^2b-2log_ab+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(log_ab-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow log_ab=1\Rightarrow a=b\)

16.

\(2^a=3\Rightarrow log_32^a=1\Rightarrow log_32=\frac{1}{a}\)

\(log_3\sqrt[3]{16}=log_32^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}log_32=\frac{4}{3a}\)

11.

\(\Leftrightarrow1>\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(2+\sqrt{3}\right)^{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{2x+2}< 1\)

\(\Leftrightarrow2x+2< 0\Rightarrow x< -1\)

\(\Rightarrow\) có \(-2+2020+1=2019\) nghiệm

12.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\0< log_3\left(x-2\right)< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\1< x-2< 3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3< x< 5\Rightarrow b-a=2\)

13.

\(4^x=t>0\Rightarrow t^2-5t+4\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le1\\t\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4^x\le1\\4^x\ge4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)