Lời giải:
Đổi \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\) thì bài toán trở thành

Cho $x,y,z$ thực dương phân biệt tm: $\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

CMR: $xyz=1$

-----------------------------

Có:

$\frac{xy+1}{x}=\frac{yz+1}{y}=\frac{xz+1}{z}$

$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=z+\frac{1}{y}=x+\frac{1}{z}$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-z=\frac{x-y}{xy}\\ z-x=\frac{y-z}{yz}\\ x-y=\frac{z-x}{xz}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (y-z)(z-x)(x-y)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)

Mà $x,y,z$ đôi một phân biệt nên $(x-y)(y-z)(z-x)\neq 0$

$\Rightarrow 1=\frac{1}{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow x^2y^2z^2=1$
$\Rightarrow xyz=1$ (do $xyz>0$)

Ta có đpcm.

Giả sử (ab+bc+ca,abc)\(\ne1\)

Gọi d là ước chung của ab+bc+ca và abc\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(ab+bc+ca\right)⋮d\\abc⋮d\end{matrix}\right.\)

Ta có abc⋮d mà a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên sẽ có 3 trường hợp

TH1:a⋮d\(\Rightarrow ab+ac⋮\)d

Mà ab+ac+bc⋮d

Suy ra \(bc⋮\)d\(\Rightarrow\) b hoặc c chia hết cho d(trái với a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một)

TH2:b⋮d\(\Rightarrow ab+bc⋮\)d

Mà ab+ac+bc⋮d

Suy ra \(ac⋮\)d\(\Rightarrow\) a hoặc c chia hết cho d(trái với a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một)

TH3:c⋮d\(\Rightarrow bc+ac⋮\)d

Mà ab+ac+bc⋮d

Suy ra \(ab⋮\)d\(\Rightarrow\) a hoặc b chia hết cho d(trái với a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một)

Vậy điều giả sử sai

Vậy (ab+bc+ca,abc)=1

Đặt \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\left(x;y;z>0\right)\). Thay vào và quy đồng từng đẳng thức ta được

xy²+y=xyz+x

yz²+z=xyz+y

x²z+x=xyz+z

cộng 3 đẳng thức trên ta được 3xyz = xy²+yz²+zx² \(\ge3\sqrt[3]{xy^2.yz^2.zx^2}=3xyz\)

dấu '=' khi \(xy^2=yz^2=zx^2< =>x=y=z\) hay a=b=c

Vậy không nhất thiết abc=1   

gọi d là 1 ước nguyên tố của ab,a+b thế thì ab chia hết cho d và a+b cũng như thế

Vì ab chia hết cho d nên a hoặc b chia hết cho d﴾vì d là số nguyên tố﴿.

Giả sử a chia hết cho d mà a+b chia hết cho d nên b chia hết cho d

=> d là ước nguyên tố của a và b, trái với đề bài cho a và b nguyên tố cùng nhau hay ƯCLN﴾a,b﴿=1

Vậy ............... 

1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$ - Số học - Diễn đàn Toán học

2. [LỜI GIẢI] Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số < - Tự Học 365