Đầu tiên chứng minh. Với mọi số n lẻ thì: \(n^5-n⋮240\)

Vì n lẻ nên ta chứng minh: \(A=\left(2k+1\right)^5-\left(2k+1\right)⋮240\)

Ta có:

\(\left(2k+1\right)^5-\left(2k+1\right)=8k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)\)

Chứng minh nó chia hết cho 16.

Vì \(k\left(k+1\right)⋮2\)

\(8k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)⋮16\)

Chứng minh nó chia hết cho 3:

Với \(k=3x\) thì \(A⋮3\)

Với \(k=3x+1\) thì \(2k+1=2\left(3x+1\right)+1=6x+3⋮3\)

Với \(k=3x+2\)thì \(k+1=3x+2+1=3x+3⋮3\)

\(\Rightarrow A⋮3\)

Chứng minh tương tự ta có được \(A⋮5\)

Vậy \(A⋮\left(16.3.5=240\right)\)

Quay lại bài toán ta có

\(a^5+b^5+c^5+d^5-a-b-c-d\)

\(=\left(a^5-a\right)+\left(b^5-b\right)+\left(c^5-c\right)+\left(d^5-d\right)⋮240\)

Từ đây ta có ĐPCM

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

a^5+b^5=4.(c^5-+d^5)

<=> a^5+b^5+c^5+d^5 = 5.(c^5+d^5) chia hết cho 5

Xét : a^5-a = a(a-2).(a+2).(a-1).(a+1)+5.a.(a-1).(a+1) chia hết cho 5 

Tương tự : b^5-b ; c^5-c ; d^5-d đều chia hết cho 5

=> a^5+b^5+c^5+d^5-(a+b+c+d) chia hết cho 5

Mà a^5+b^5+c^5+d^5 chia hết cho 5

=> a+b+c+d chia hết cho 5

Tk mk nha

bạn xét hiệu là ra

bạn c/m: a⁵+b⁵+c⁵+d⁵ chia hết cho 30 lấy: \(a^5+b^5+c^5+d^5-a-b-c-d=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)+....+d\left(d-1\right)\left(d+1\right)\left(d^2+1\right)⋮30\Rightarrow dpcm\)