Giao điểm của (d) và (C) thỏa mãn:

\(\left(2+t\right)^2+\left(-1+3t\right)^2-2\left(2+t\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow10t^2-4t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy (d) và (C) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là: \(\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{1}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) thì pt đầu trở thành:

\(\dfrac{a^2-b^2}{2}-4b^2+3b=a\Leftrightarrow a^2-9b^2+6b=2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b\right)-2\left(a-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)\left(a+3b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\\a=2-3b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)

ĐÁP ÁN D

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) nếu có là nghiệm hệ phương trình: là nghiệm của hệ phương trình

x − y + ​    4 = 0     ( 1 ) x 2 + ​ y 2 + ​ 2 x − 4 y − 8 = 0     ( 2 )

Từ  (1) suy ra: y = x + 4  thay vào (2) ta được: 

x 2   +     ( x +   4 ) 2   +     2 x   –   4 .   ( x +   4 )   -   8   =   0     x 2   +   x 2   +     8 x   +   16   +   2 x   -     4 x   –   16   -   8 =   0

 2x² + 6x  - 8 =  0   ⇔ x = 1 ⇒ y =    5 x = − 4 ⇒ y = 0

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt là (1; 5) và  ( -4; 0)

+ 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0 không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2 khác hệ số của y2.

+ Phương trình x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 có :

a = –1; b = 2; c = –4 ⇒ a2 + b2 – c = 9 > 0

⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.

+ Phương trình x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0 có :

a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a2 + b2 – c = –10 < 0

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

+ Phương trình x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 có :

a = –3; b = –1; c = 10 ⇒ a2 + b2 – c = 0 = 0

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y\ge1\\x+2y\ge2\\x+4y\ge0\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x+y-1\right)-\left(x+2y-2\right)}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+\left(x-y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-y+1}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+\left(x-y+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+y-1}+\sqrt{x+2y-2}}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Thế vào pt 2 => x;y

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y-1}=a\ge0\\\sqrt{x+2y-2}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=x-y+1\)

Phương trình thứ nhất trở thành:

\(a-b+a^2-b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1+a+b\right)=0\Leftrightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+y-1}=\sqrt{x+2y-2}\Rightarrow y=x+1\)

Thay xuống pt dưới:

\(4x^2-\left(x+1\right)^2+x+4-\sqrt{3x+1}-\sqrt{5x+4}=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-x+3-\sqrt{3x+1}-\sqrt{5x+4}=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x+x+1-\sqrt{3x+1}+x+2-\sqrt{5x+4}=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\frac{\left(x+1\right)^2-\left(3x+1\right)}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{\left(x+2\right)^2-\left(5x+4\right)}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\frac{x\left(x-1\right)}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{x\left(x-1\right)}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}\right)=0\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow2x^2-2-2y^2-4y+2x\sqrt{x^2+1}=2\left(y+1\right)\sqrt{y^2+2y+2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x\sqrt{x^2+1}=\left(y+1\right)^2+\left(y+1\right)\sqrt{\left(y+1\right)^2+1}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+t\sqrt{t^2+1}\)

\(f'\left(t\right)=\frac{\left(\sqrt{t^2+1}+t\right)^2}{\sqrt{t^2+1}}>0\) ;\(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow x=y+1\)

Thay xuống pt dưới:

\(\left(y+1\right)^2+2y^2-2\left(y+1\right)+4y-3=0\Leftrightarrow...\)