Một nhà sử học, một học giả Do Thái có tên Flavius Josephus và 40 người lính Do Thái khác bị quân La Mã bao vây trong cuộc vây hãm tại thị trấn Yodfat vào năm 67 Sau Công nguyên.

Nhóm người tại đây thà chết chứ không chịu đầu hàng và vì thế, họ quyết định đứng thành vòng tròn, người thứ nhất giết người bên cạnh của mình và cứ như vậy, người còn sống tiếp theo sẽ phải giết người kế tiếp. Người sống sót cuối cùng sẽ phải tự sát.

Josephus không muốn tự sát nhưng cũng không dám nói ra kế hoạch này bởi lẽ ông sợ sẽ bị các những người khác giết ngay lập tức.

Josephus là một trong hai người còn lại sống sót và ông nói rằng “hoặc ta phải nói rằng sự việc này xảy ra bằng sự ngẫu nhiên, hoặc đây là bằng chứng về sự tồn tại của Đấng tối cao”.

Vậy học giả Josephus làm thế nào để sống sót trong “bài toán” trên?

Đây là một bài toán tổ hợp, yêu cầu xây dựng một mô hình thỏa mãn các tính chất đã cho. Bài toán bắt đầu từ hai định nghĩa sau: Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập cân bằng nếu với hai điểm A, B thuộc S thì tồn tại điểm C thuộc S sao cho CA = CB (tức là C nằm trên trung trực AB).

Ví dụ 3 đỉnh của một tam giác đều là một tập cân bằng, còn 4 đỉnh của một hình vuông thì không cân bằng. Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập không tâm nếu không tồn tại 4 điểm A, B, C, D thuộc S sao cho DA = DB = DC. Nói cách khác, nếu 3 điểm A, B, C thuộc S thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC không thuộc S. 

Đề toán yêu cầu:

a) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3, tồn tại một tập cân bằng gồm n điểm trên mặt phẳng.

b) Tìm tất cả các giá trị n ≥ 3 sao cho tồn tại tập hợp gồm n điểm trên mặt phẳng, cân bằng và không tâm.