Câu hỏi của Trí Tiên亗

Question

BT hè vui :PP1 ) Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1.Chứng minh rằng $P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$ 2 ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=3$.Chứng minh rằng  \(\frac{x...

HD Film · Accepted Answer

1/$P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yx+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=14$Ta thấy dấu bằng xảy ra khi $\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\frac{1}{xy+yz+xz}=\frac{\sqrt{2}}{x^2+y^2+z^2}\end{cases}}$ Hai điều kiện không thể đồng thời xảy ra nên không tồn tại dấu bằng. Vậy P > 14Câu trả lời: 1/$P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yx+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=14$Ta thấy dấu bằng xảy ra khi $\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\frac{1}{xy+yz+xz}=\frac{\sqrt{2}}{x^2+y^2+z^2}\end{cases}}$ Hai điều kiện không thể đồng thời xảy ra nên không tồn tại dấu bằng. Vậy P > 14

Tran Le Khanh Linh · Answer

1) vì x,y,z là các số bất kì, ta có bđt luôn đúng: (x+y+z)2 $\ge$3(xy+yz+zx)vì x+y+z=1 nên suy ra $\frac{1}{xy+yz+zx}\ge3$đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ta có $\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{4}{\left(x+y+z\right)^3}=4$$\Rightarrow\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\ge2\cdot3+2\cdot4=14$đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\end{cases}}$hệ này vô nghiệm nên bât không trở thành đẳng thứcvậy bất đẳng thức được chứng minh2) ta có $\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27}\ge\frac{x}{3}\Rightarrow\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac{9x+y-y^2-6}{27}$tương tự ta có: $\frac{y^3}{z^3+8}\ge\frac{9y+z-z^2-6}{27},\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{9z+x-x^2-6}{27}$nên$VT\ge\frac{10\left(x+y+z\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)-18}{27}=\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}$mà ta lại có $\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)27}{27}=\frac{3+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)$từ đó ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1Câu trả lời: 1) vì x,y,z là các số bất kì, ta có bđt luôn đúng: (x+y+z)2 $\ge$3(xy+yz+zx)vì x+y+z=1 nên suy ra $\frac{1}{xy+yz+zx}\ge3$đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ta có $\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{4}{\left(x+y+z\right)^3}=4$$\Rightarrow\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\ge2\cdot3+2\cdot4=14$đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\end{cases}}$hệ này vô nghiệm nên bât không trở thành đẳng thứcvậy bất đẳng thức được chứng minh2) ta có $\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27}\ge\frac{x}{3}\Rightarrow\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac{9x+y-y^2-6}{27}$tương tự ta có: $\frac{y^3}{z^3+8}\ge\frac{9y+z-z^2-6}{27},\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{9z+x-x^2-6}{27}$nên$VT\ge\frac{10\left(x+y+z\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)-18}{27}=\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}$mà ta lại có $\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)27}{27}=\frac{3+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)$từ đó ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP