\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

b/ Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAB

\(\Rightarrow MN//SB\Rightarrow SB//\left(CMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(SB;CM\right)=d\left(SB;\left(CMN\right)\right)=d\left(S;\left(CMN\right)\right)\)

Mặt khác SA cắt \(\left(CMN\right)\) tại N

\(NS=NA=\frac{1}{2}SA=a\Rightarrow d\left(S;\left(CMN\right)\right)=d\left(A;\left(CMN\right)\right)\)

\(CM=\sqrt{BC^2+BM^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Kẻ \(AH\perp CM\Rightarrow\Delta MHA\sim\Delta MBC\) (tam giác vuông có 1 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{CM}\Rightarrow AH=\frac{BC.AM}{CM}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

Từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(CMN\right)\right)\)

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\frac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

Kẻ \(AH\perp BD\Rightarrow BD\perp\left(SAH\right)\Rightarrow\widehat{SHA}\) là góc giữa (SBD) và (ABCD)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{AB.AD}{\sqrt{AB^2+AD^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=2a\)

\(tan\widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{SHA}\simeq66^035'\)

b/ \(MS=MA\Rightarrow d\left(S;\left(MND\right)\right)=d\left(A;\left(MND\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AK\perp MD\Rightarrow AK\perp\left(MND\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(MND\right)\right)\)

\(AM=\frac{SA}{2}=a\Rightarrow\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AD^2}\Rightarrow AK=\frac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Đáy ABCD là hình gì cạnh a bạn? Hình vuông hay hình thoi?

Hình vuông ạ

Hình bạn tự vẽ

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp SI\) (1)

Do \(\Delta SAD\) đều \(\Rightarrow SI\perp AD\) (2)

(1), (2) \(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Dễ dàng nhận ra ABKD là hình vuông

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{2}\) ; \(BC=\sqrt{BK^2+CK^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow BD^2+BC^2=4a^2=CD^2\)

\(\Rightarrow\Delta DBC\) vuông cân tại B \(\Rightarrow CB\perp BD\)

Kéo dài IH và CB cắt nhau tại K

\(IH//BD\) (đường trung bình) \(\Rightarrow BC\perp IH\Rightarrow CK\perp\left(SHI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CSK}\) là góc giữa SC và (SHI)

\(IC=\sqrt{ID^2+CD^2}=\sqrt{\left(\frac{AD}{2}\right)^2+CD^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến trong tam giác đều cạnh a)

\(\Rightarrow SC=\sqrt{SI^2+IC^2}=a\sqrt{5}\)

\(BK=BH.sin\widehat{KHB}=\frac{AB}{2}.\frac{IA}{IH}=\frac{AB}{2}.\frac{AB}{2\sqrt{AH^2+IA^2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow CK=BC+BK=a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{5a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{CSK}=\frac{CK}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}\Rightarrow\widehat{CSK}\approx52^014'\)

\(\Delta_vABC\sim\Delta_vBCD\left(\widehat{BAC}=\widehat{CBD}\right)\) cùng phụ góc \(\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow BC=\sqrt{AB.CD}=a\)

Do MN là đường trung bình \(\Delta ABC\) \(\Rightarrow MN//AC\Rightarrow MN\perp BD\)

\(\Rightarrow BH=BN.cos\widehat{CBD}=\frac{1}{2}BC.\frac{BC}{BD}=\frac{1}{2}\frac{BC^2}{\sqrt{BC^2+CD^2}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBH}=60^0\Rightarrow SH=BH.tan60^0=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp SH\\BD\perp MN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SNH\right)\)

Từ H kẻ \(HK\perp SN\Rightarrow HK\) là đường vuông góc chung của SN và BD

\(\Rightarrow HK=d\left(SN;BD\right)\)

\(HN=\sqrt{BN^2-BH^2}=\frac{a\sqrt{5}}{10}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SHN:

\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{NH^2}\Rightarrow HK=\frac{SH.NH}{\sqrt{SH^2+NH^2}}=\frac{a\sqrt{195}}{65}\)