Bài 1 : Ta có MB = MC ( gt) , ME // AC => E là trung điểm của AB ( đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác . . )

MB = MC ( gt) , MF // AB ⇒ F là trung điểm của AC ( đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác . . . )

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC . ⇒ EF // BC Vậy tứ giác BCEF là hình thang

. Mặt khác góc B = góc C ( tam giác ABC cân – gt) ⇒ Tứ giác BCEF là hình thang cân.

Bài 2: a/ chứng minh tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song ( gt) nên AEGF là hình bình hành.

tứ giác có góc A = 900 ( gt)

Vậy AEGF là hình chữ nhật

b/ vì GF // AB ⇒ FI // EB

EI // BF (gt) ⇒ BEIF là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối // )

c/ Vì AF = FC , GB = GC ( gt) ⇒ GF là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ GF = BE = 1/2 AB ⇒ GF = FI ( vì FI = BE do BEIF là hình bình hành)

⇒ GF // AB mà AB ⊥ AC ⇒ GI ⊥ AC tại F

Vậy AGCI là hình thoi ( hai đ/chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường )

d/ Để AGCI là hình vuông thì AC = GI . mà GI = 2GF = 2 EB = AB Vậy AGCI là hình vuông thì AC = AB ⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
 

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành

a) Chứng minh rằng các tứ giác BDME, CFME, ADMF là các hình thang cân:

Trước hết, chúng ta có thể thấy rằng tam giác ABC là một tam giác đều, do đó góc ABC, BCA và CAB đều bằng 60 độ.

Vì M là một điểm nằm bên trong tam giác đều ABC, nên góc AME, CME và BME bằng nhau và bằng 120 độ (tổng của góc của tam giác đều là 180 độ).

Giờ ta chứng minh từng tứ giác cụ thể:

Tứ giác BDME: Góc AME = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc AMB = Góc CMB = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Vậy, tứ giác BDME là tứ giác cân, vì có hai góc đối diện bằng nhau (120 độ).

Tứ giác CFME: Tương tự, góc CME = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc CMA = Góc BMA = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Tứ giác CFME cũng là tứ giác cân, vì có hai góc đối diện bằng nhau (120 độ).

Tứ giác ADMF: Góc AMF = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc AMB = Góc CMB = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Tứ giác ADMF cũng là tứ giác cân, vì có hai góc đối diện bằng nhau (120 độ).

b) Chu vi tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của tam giác ABC:

Chúng ta biết rằng hai đường thẳng EF và BC là song song, vì chúng đều song song với hai cạnh của tam giác ABC. Do đó, theo tính chất của đường song song, tỉ số độ dài các đoạn thẳng tương tự trên hai đường thẳng là như nhau.

Tức là tỉ số DE/BD = EF/BC và tỉ số DF/FC = EF/BC.

Do đó, DE = (EF/BC) * BD và DF = (EF/BC) * FC.

Vậy chu vi tam giác DEF là:

DE + EF + FD = (EF/BC) * (BD + BC + FC).

Nhưng BD + BC + FC chính là chu vi tam giác ABC. Vì vậy, chu vi tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của tam giác ABC.

c) Chứng minh góc DME = góc DMF = góc EMF:

Góc AME = 120 độ (như đã nói ở trên) Góc AMB = Góc CMB = 60 độ (vì tam giác đều ABC) Do đó, góc AME - Góc AMB = 120 độ - 60 độ = 60 độ.

Nhưng góc DME chính là góc AME - góc AMB (do góc DME nằm giữa AME và AMB).

Tương tự, góc DMF = góc EMF - góc EMF (do góc DMF nằm giữa EMF và EMF).

Nhưng đã chứng minh rằng góc AME - Góc AMB = 60 độ, nên góc DME = góc DMF = góc EMF = 60 độ.

a: MD//BC

=>góc ADM=góc ABC=60 độ

Xét tứ giác FMDA có

FM//AD

góc A=góc MDA

=>FMDA là hình thang cân

ME//AC

=>góc BEM=góc BCA=60 độ

Xét tứ giác BDME có

MD//BE

góc B=góc MEB

=>BDME là hình thang cân

MF//AB

=>góc CFM=góc CAB=60 độ

Xét tứ giác EMFC có

EM//FC
góc C=góc MFC

=>EMFC là hình thang cân

b: BDME là hình thang cân

=>BM=DE

ADMF là hình thang cân

=>MA=DF

EMFC là hình thang cân

=>EF=MC

=>C DEF=DE+EF+DF=BM+MA+MC

c: DMEB là hình thang cân

=>góc DME=180 độ-60 đọ=120 độ

EMFC là hình thang cân

=>góc FME=180-60=120 độ

ADMF là hình thang cân

=>góc DMF=180-60=120 độ

=>góc DMF=góc FME=góc EMD

Bài 2.

-Hình bn tự vẽ nhé!

Bài làm:

a, Có F là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow\)AF=\(\dfrac{1}{2}\)AC (1)

Xét tam giác ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

G là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow\)EG là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\)EG=\(\dfrac{1}{2}\)AC và EG song song với AC hay EG song song với AF (2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)AEGF là hình bình hành.

mà góc A= 90 độ (gt)\(\Rightarrow\)AEGF là hình chữ nhật.

AEGF là hcn nên có AE song song với GF ( Tính chất hcn) hay EB song song với IF (3)

mà EI song song với BF (gt) (4)

Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\)BFIE là hình bình hành.

b, Theo a, ta có: BFIE là hình bình hành nên BE=FI (tính chất hình bình hành) và AEGF là hình chữ nhật nên AE=GF (tính chất hình chữ nhật)

mà AE=EB (E là trung điểm của AB)

\(\Rightarrow\)GF=FI.

Xét tứ giác AGCI có: FA=FC (F là trung điểm của AC), GF=FI (cmt)

\(\Rightarrow\)AGCI là hình bình hành.

mà GI vuông góc với AC nên hình bình hành AGCI là hình thoi

c, Theo b, ta có: AGCI là hình thoi

Để tứ giác (hình thoi) AGCI là hình vuông thì góc AGC= 90 độ hay AG vuông góc với BC.

Khi đó AG là đường cao của tam giác ABC

Mặt khác AC là đường trung tuyến của tam giác ABC ( G lf trung điểm của BC)\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A

mà tam giác ABC vuông tại (gt) nên tam giác ABC vuông cân tại A thì AGCI là hình vuông.

cho mình sửa với : Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh =4cm.Trên các cạnh AB,BC,CD,DA lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE=BF=CG=DH. Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

a: Xét tứ giác BMEC có ME//BC

nên BMEC là hình thang

mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

nên BMEC là hình thang cân

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

ME//BC

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

MF//AC

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: MF là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: \(MF=\dfrac{AC}{2}\)

mà \(EC=\dfrac{AC}{2}\)

nên MF=EC

Xét tứ giác MECF có 

MF//EC

MF=EC

Do đó: MECF là hình bình hành

c: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: ME là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: ME//BC và \(ME=\dfrac{BC}{2}\)

mà \(BF=\dfrac{BC}{2}\)

nên ME//BF và ME=BF

Xét tứ giác MEFB có 

ME//BF

ME=BF

Do đó: MEFB là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo MF và BE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của MF

nên I là trung điểm của BE

hay B,I,E thẳng hàng