Vì 5(y+z)=3(z+x) =>(x+z)/5=(y+z)/3=(x+z-y-z)/(5-3) = (x-y)/2

Ap dung tinh chat day ti so bang nhau ta co : 

Do đó (x+z)/5 = (x-y)/2 \(\Leftrightarrow\) (x+z)/10=(x-y)/4 (1)  

Ta lại có: 2(x+y)=3(z+x) \(\Rightarrow\) (x+z)/2=(x+y)/3=(x+z-x-y)/(2-3)=y-z

Ap dung tinh chat day ti so bang nhau ta co : 

Do đó (x+z)/2 = y-z \(\Leftrightarrow\) (x+z)/10=(y-z)/5 (2)  

Từ (1) và (2) suy ra (x-y)/4=(y-z)/5

Từ : \(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)

=> \(\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)

Ta có : \(\frac{z+x}{10}=\frac{y+z}{6}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\left(1\right)\)

\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\left(2\right)\)

Vậy : ...

\(\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=15k\\y+z=6k\\z+x=10k\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=4k\\y-z=5k\end{cases}\Rightarrow}\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}}\)

\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\Leftrightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\)

\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\)

Suy ra đpcm. 

Đừng ai giải bài này nha, vì nó có trong đề của cuộc thi bên h của mình. Các bạn thông cảm

  2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x) 
<=> 
(x+y)/(1/2) = (y+z)/(1/5) = (z+x)/(1/3) = (x+y-z-x)/(1/2-1/3) = (z+x-y-z)/(1/3-1/5) 

=> (y-z)/(1/2-1/3) = (x-y)/(1/3-1/5) => (y-z)/(1/6) = (x-y)/(2/15) 

=> 6(y-z) = 15(x-y)/2 <=> 2(y-z) = 5(x-y)/2 <=> (y-z)/5 = (x-y)/4 đpcm 

Ta có : \(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(x+z\right)\)

=> \(\dfrac{2\left(x+y\right)}{30}=\dfrac{5\left(y+z\right)}{30}=\dfrac{3\left(x+z\right)}{30}\)

=> \(\dfrac{x+y}{15}=\dfrac{y+z}{6}=\dfrac{x+z}{10}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x+y}{15}=\dfrac{y+z}{6}=\dfrac{x+z}{10}=\dfrac{x+z-y-z}{10-6}=\dfrac{x+y-x-z}{15-10}=\dfrac{x-y}{4}=\dfrac{y-z}{5}\left(ĐPCM\right)\)