Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^3+y^2\ge2yx\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2yx\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự cộng lại suy ra:
\(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
quy đồng cái biểu thức =1 ta có
(x(z+x)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(z+x))/(y+z)(z+x)(x+y)=1
suy ra x(z+x)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(z+x)=(y+z)(z+x)(x+y)
x(z+x)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(z+x)-(y+z)(z+x)(x+y)=0
x^3+y^3+z^3+xyz=0(bước này bạn tự tính rút gọn nhan)
xyz=-x^3-y^3-z^3
quy đồng A ta có (x^2(z+x)(x+y)+y^2(y+z)(x+y)+z^2(y+z)(z+x))/(y+z)(z+x)(x+y)
mik chỉ xét tử thôi nhan cộng lại hết ta có
x^4+y^4+z^4+x^2yz+xy^2z+xyz^2+x^3y+xy^3+x^3z+xz^3+y^3z+yz^3
thế xyz=-x^3-y^3-z^3 ta có
=x^4+y^4+z^4+x(-x^3-y^3-z^3)+y(-x^3-y^3-z^3)+z(-x^3-y^3-z^3)+x^3y+xy^3+x^3z+xz^3+y^3z+yz^3
rút gọn sẽ bằng 0
suy ra A=0
Nhanh vậy ta:
chơi khác kiểu không trùng ai hết.
câu 1
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{y^2+x^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{20}{\left(xy\right)^2}\)(1)
Ta lại có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{20}{2}=10\)(2) Đẳng thức khi x=y
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P_{min}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) Khi x=y=\(\sqrt{10}\)
câu 2: Không cần đk (x+y+z)=1
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\) (1) =>Dk \(\hept{\begin{cases}x+z\ne0\\y+z\ne0\\x+y\ne0\end{cases}\Rightarrow\left(x+y+z\right)\ne0}\)
Nhân hai vế (1) với (x+y+z khác 0)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=1.\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=0\)
Câu 1:
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=20\\x=y\end{cases}}\Rightarrow x=y=\sqrt{10}\)
Vậy MinP=\(\frac{1}{5}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{10}\)
Câu 2:
Từ \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1-\left(y+z\right)\\y=1-\left(x+z\right)\\z=1-\left(x+y\right)\end{cases}}\).Thay vào ta có
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=\frac{x\left[1-\left(y+z\right)\right]}{y+z}+\frac{y\left[1-\left(x+z\right)\right]}{x+z}+\frac{z\left[1-\left(x+y\right)\right]}{x+y}\)
\(=\frac{x-x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y-y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z-z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y}{x+z}-\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z}{x+y}-\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-x+\frac{y}{x+z}-y+\frac{z}{x+y}-z\)
\(=\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)-\left(x+y+z\right)=1-1=0\)