Cân nặng trung bình của học sinh sau khi ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{4.47 + 5.51 + 7.55 + 7.59 + 5.63}}{{28}} = 55,6\left( {kg} \right)\)

Cân nặng trung bình của học sinh của mẫu số liệu gốc là:

\(\bar x = 56\left( {kg} \right)\)

Vậy giá trị ước lượng cân nặng trung bình của học sinh sau khi ghép nhóm xấp xỉ bằng cân nặng trung bình của học sinh của mẫu số liệu gốc.

Tham khảo:

Ta có số liệu thống kê cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B như sau:

• Tổng số lợn con giống A là: \(n = 8 + 28 + 32 + 17 = 85\)

Cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

\(\bar x = \frac{{8.1,05 + 28.1,15 + 32.1,25 + 17.1,35}}{{85}} \approx 1,22\left( {kg} \right)\)

Nhóm chứa số trung vị của giống A là: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\)

Ta có: \(n = 85;{n_m} = 31;C = 8 + 28 = 36;{u_m} = 1,2;{u_{m + 1}} = 1,3\)

Trung vị của cân nặng của lợn con giống A là:

\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 31}}{{36}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,23\left( {kg} \right)\)

• Tổng số lợn con giống B là: \(n = 13 + 14 + 24 + 14 = 65\)

Cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

\(\bar x = \frac{{13.1,05 + 14.1,15 + 24.1,25 + 14.1,35}}{{65}} = 1,21\left( {kg} \right)\)

Nhóm chứa số trung vị của giống B là: \(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\)

Ta có: \(n = 65;{n_m} = 24;C = 13 + 14 = 27;{u_m} = 1,2;{u_{m + 1}} = 1,3\)

Trung vị của cân nặng của lợn con giống B là:

\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{65}}{2} - 27}}{{24}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,22\left( {kg} \right)\)

Vậy số cân nặng trung bình và số trung vị giống A lớn hơn giống B.

b) • Giống A

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{85}}\) là cân nặng của các con lợn con được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({x_1},...,{x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,0;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{x_9},...,{x_{36}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array};{x_{37}},...,{x_{68}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array};{x_{69}},...,{x_{85}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,3;1,4} \right)}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).

Ta có: \(n = 85;{n_m} = 28;C = 8;{u_m} = 1,1;{u_{m + 1}} = 1,2\)

Do \({x_{21}},{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,1 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 8}}{{28}}.\left( {1,2 - 1,1} \right) \approx 1,15\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).

Ta có: \(n = 85;{n_j} = 32;C = 8 + 28 = 34;{u_j} = 1,2;{u_{j + 1}} = 1,3\)

Do \({x_{64}},{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 34}}{{32}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,29\)

• Giống B

Gọi \({y_1};{y_2};...;{y_{65}}\) là cân nặng của các con lợn con được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({y_1},...,{y_{13}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,0;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{y_{14}},...,{y_{27}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array};{y_{28}},...,{y_{51}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array};{y_{52}},...,{y_{65}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {1,3;1,4} \right)}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{y_{16}} + {y_{17}}} \right)\).

Ta có: \(n = 65;{n_m} = 14;C = 13;{u_m} = 1,1;{u_{m + 1}} = 1,2\)

Do \({y_{16}},{y_{17}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,2} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,1 + \frac{{\frac{{65}}{4} - 13}}{{14}}.\left( {1,2 - 1,1} \right) \approx 1,12\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{y_{49}} + {y_{50}}} \right)\).

Ta có: \(n = 65;{n_j} = 24;C = 13 + 14 = 27;{u_j} = 1,2;{u_{j + 1}} = 1,3\)

Do \({y_{49}},{y_{50}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,2;1,3} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,2 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - 27}}{{24}}.\left( {1,3 - 1,2} \right) \approx 1,29\)

a) Không thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh

b) Tần số lớn nhất là 16 nên nhóm chứa mốt là [5;10)

Ta có \(j = 2,\;{a_2} = 5,\;{m_2} = 16,\;{m_1} = 8;\;{m_3} = 4,\;h = 5.\) Do đó,

                 \({M_0} = 5 + \frac{{16 - 8}}{{\left( {16 - 8} \right) + \left( {16 - 4} \right)}} \times 5 = 7\).

Tham khảo:

Chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi được thống kê trong bảng sau:

Chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi sau khi ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{20.8,65 + 35.8,95 + 60.9,25 + 55.9,55 + 30.9,85}}{{200}} = 9,31\left( m \right)\)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9,1;9,4} \right)}\end{array}\).

Do đó: \({u_m} = 9,1;{n_{m - 1}} = 35;{n_m} = 60;{n_{m + 1}} = 55;{u_{m + 1}} - {u_m} = 9,4 - 9,1 = 0,3\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 9,1 + \frac{{60 - 35}}{{\left( {60 - 35} \right) + \left( {60 - 55} \right)}}.0,3 = 9,35\)

Vậy chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi nhiều nhất là 9,35 mét.

Cỡ mẫu \(n = 3 + 8 + 7 + 3 = 21\).

Suy ra trung vị là \({x_{11}}\) thuộc nhóm [5; 10).

\(w'\left(t\right)=0,000758\cdot3t^2-0,0596\cdot2t+1,82\\ =0,002274t^2-0,1192t+1,82\)

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là: 

\(w'\left(10\right)=0,002274\cdot10^2-0,1192\cdot10+1,82=0,8554\)

Tham khảo:

a)

b) Không thể tính chính xác, chúng ta chỉ có thể tinh số gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp

c) Giá trị đại diện của nhóm bằng trung bình giá trị đầu mút phải và trái của nhóm đó

Nhóm \( \ge 4.5\) là nhóm mở nên ta dựa theo nhóm gần đó nhất là nhóm [3;4.5) để lấy giá trị đại diện

Số trung binh của mẫu số liệu: : \(\bar x = \frac{{0.75 \times 8 + 2.25 \times 23 + 2.75 \times 6 + 5.25 \times 3}}{{40}} = 2.25\).

Diện tích đáy của miếng pho mát là:

       \(\dfrac{1}{2}.12.12=72\left(cm^2\right)\)

Thế tích miếng pho mát là:

       \(72.10=720\left(cm^3\right)\)

Khối lượng miếng pho mát là:

       \(3.720=2160\left(g\right)\)