Câu hỏi của Mẫn Đan

Question

Cho 0o < x < 90o thỏa mãn$\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}=\frac{1}{m+n}$$\left(m,n>0\right)$Chứng minh \(\frac{sin^{2008}x}{m^{1003}}+\frac{cos^{2008}x}{n^{1003}}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003...

alibaba nguyễn · Accepted Answer

Ta có:$\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}\ge\frac{\left(sin^2x+cos^2x\right)^2}{m+n}=\frac{1}{m+n}$Dấu = xảy ra khi $\frac{sin^2x}{m}=\frac{cos^2x}{n}$Thế vào điều kiện đề bài ta có:$\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}=\frac{1}{m+n}$$\Leftrightarrow\frac{sin^2x}{m}.\left(sin^2x+cos^2x\right)=\frac{1}{m+n}$$\Leftrightarrow\frac{sin^2x}{m}=\frac{1}{m+n}\left(1\right)$Ta cần chứng minh$\frac{sin^{2008}x}{m^{1003}}+\frac{cos^{2008}x}{n^{1003}}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}$$\Leftrightarrow\frac{sin^{2006}}{m^{1003}}.\left(sin^2x+cos^2x\right)=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}$$\Leftrightarrow\left(\frac{sin^2}{m}\right)^{1003}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}\left(2\right)$Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh là đúng.Câu trả lời: Ta có:$\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}\ge\frac{\left(sin^2x+cos^2x\right)^2}{m+n}=\frac{1}{m+n}$Dấu = xảy ra khi $\frac{sin^2x}{m}=\frac{cos^2x}{n}$Thế vào điều kiện đề bài ta có:$\frac{sin^4x}{m}+\frac{cos^4x}{n}=\frac{1}{m+n}$$\Leftrightarrow\frac{sin^2x}{m}.\left(sin^2x+cos^2x\right)=\frac{1}{m+n}$$\Leftrightarrow\frac{sin^2x}{m}=\frac{1}{m+n}\left(1\right)$Ta cần chứng minh$\frac{sin^{2008}x}{m^{1003}}+\frac{cos^{2008}x}{n^{1003}}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}$$\Leftrightarrow\frac{sin^{2006}}{m^{1003}}.\left(sin^2x+cos^2x\right)=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}$$\Leftrightarrow\left(\frac{sin^2}{m}\right)^{1003}=\frac{1}{\left(m+n\right)^{1003}}\left(2\right)$Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh là đúng.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP