Gọi \(N\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AN}=\left(x-2;y\right)\\\overrightarrow{BN}=\left(x-1;y-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(NA=2NB\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+y^2}=2\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4+y^2=4\left[x^2-2x+1+y^2-4y+4\right]\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2-4x-16y+16=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}y+\frac{16}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{8}{3}\right)^2=\frac{20}{9}\)

\(\Rightarrow a+b+R^2=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}+\frac{20}{9}=\frac{50}{9}\)

a) \(MA^2+MB^2=MC^2\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 12x - 10y - 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 66\)

Vậy tập hợp các điểm M là một đường tròn.

b) Tâm là điểm (-6 ; 5) bán kính bằng \(\sqrt{66}\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2=1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-x;2-y\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-2-x;1-y\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(3-x;4-y\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(2-3x;7-3y\right)\)

\(T^2=\left(3x-2\right)^2+\left(3y-7\right)^2\)

Đặt \(\left(x+3;y+4\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=1\)

\(T^2=\left(3a-11\right)^2+\left(3b-19\right)^2\)

\(T^2=9\left(a^2+b^2\right)-66a-114b+482=491-6\left(11a+19b\right)\)

Ta lại có:

\(\left(11a+19b\right)^2\le\left(11^2+19^2\right)\left(a^2+b^2\right)=482\)

\(\Rightarrow11a+19b\ge-\sqrt{482}\)

\(\Rightarrow T^2\le491+6\sqrt{482}\)

\(\Rightarrow T\le\sqrt{491+6\sqrt{482}}\)

Số liệu bài toán cho xấu 1 cách phi lý và vô nghĩa

Cảm ơn anh rất nhiều ạ

a) Ta có phương trình đường tròn là \(({C_1}):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = (3;3) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2  = R\)

Suy ra phương trình đường tròn là; \({C_2}:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 18\)

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng \(4x + y - 16 = 0\) nên có tọa độ \(I\left( {a;16 - 4a} \right)\)

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}} ,IB = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

A, B thuộc đường tròn nên \(IA = IB \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 1} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 5} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {15 - 4a} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {11 - 4a} \right)^2}\\ \Rightarrow  - 28a =  - 84 \Rightarrow a = 3\end{array}\)

Suy ra tâm đường tròn là \(I(3;4)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn trên là \(({C_3}):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\)

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2mx - 2ny + p = 0\) (với tâm \(I(m;n),R = \sqrt {{m^2} + {n^2} - p} \))

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện \(a,b \ne 0\), vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{0^2} + {0^2} - 2m.0 - 2n.0 + p = 0\\{a^2} + {0^2} - 2ma - 2n.0 + p = 0\\{0^2} + {b^2} - 2m.0 - 2nb + p = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\{a^2} - 2ma = 0\\{b^2} - 2nb = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\m = \frac{a}{2}\\n = \frac{b}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là \({x^2} + {y^2} - ax - by = 0\)

Lấy \(I\)là trung điểm của \(AB\).

Khi đó \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}\)

\(=MI^2-\frac{a^2}{4}=2a^2\Leftrightarrow MI^2=\frac{9}{4}a^2\)

Suy ra \(M\)thuộc đường tròn tâm \(I\)bán kính \(\frac{3a}{2}\).

a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\)

b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) _{có phương trình:} \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\)

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  M và nhận vt \(\overrightarrow {BA}  = (1;3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(x + 3y - 8 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  N và nhận vt \(\overrightarrow {AC}  = (3; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  \(3x - y - 4 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)