a, \(OA=AB=BC\left(gt\right)\Rightarrow CA=\frac{2}{3}CO\)

Tam giác MHC có: CO là đường trung tuyến và  \(A\in CO,CA=\frac{2}{3}CO\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow A\) là trọng tâm của \(\Delta MHC\) nên đường trung tuyến HI đi qua điểm A.

b, BI là đường trung bình của \(\Delta AMC\left(gt\right)\Rightarrow BI//AM\)

AM là đường trung bình của \(\Delta OBN\left(gt\right)\Rightarrow AM//BN\)

Qua điểm B nằm ngoài đường thẳng AM, ta có: \(BI//AM,BN//AM\left(cmt\right)\) nên theo tiên đề Ơclít,

3 điểm B,N,I thẳng hàng.

Chúc bạn học tốt.

a: Xét ΔOAH và ΔOBH có

AO=BO

OH chung

AH=BH

=>ΔOHA=ΔOHB
b: ΔOHA=ΔOHB

=>góc OHA=góc OHB=180/2=90 độ

=>OH vuông góc AB

c: Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

góc AOC=góc BOC

OC chung

=>ΔOAC=ΔOBC

Gọi I là tr5ung điểm của MC,CO và EI cắt nhau tại A'. Suy ra A' là trọng tâm của tam giác EMC

Ta có: \(CA'=\frac{2}{3}CO\)Mà \(CA=\frac{2}{3}CO\)

\(\Rightarrow A'\equiv A\)nên AE đi qua I

Tam giác OBN có: 

OA = OB ( gt ) và OM = MN ( gt )

\(\Rightarrow AM//BN\)

Ta giác AMC có: 

AB = BC ( gt )  và CI = IM ( gt )

\(\Rightarrow AM//BI\)

Áp dụng tiên đề Ơclit ta có \(BN\equiv BI\)

Suy ra 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy. 

Vậy 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy. ( đpcm )

BN là nét đứt nhé.

Gọi I là giao điểm của AE và CM.

ΔECM có CO là đường trung tuyến (vì O là trung điểm EM)

mà A ∈ CO, CA = 2/3 CO

=> A là trọng tâm của ΔECM

=> EI là đường trung tuyến của ΔECM

=> I là trung điểm của CM.

Xét ΔOBN có A là trung điểm OB, M là trung điểm ON

=> AM là đường trung bình của ΔOBN => AM // BN (1)

Xét ΔCAM có B là trung điểm AC, I là trung điểm CM

=> BI là đường trung bình của ΔCAM => BI // AM (2)

Từ (1)(2) => BI \(\equiv\) BN => I ∈ BN

Mà I là giao điểm CM và AE

=> BN, CM, AE đồng quy (đpcm)