Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:

\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)

\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)

Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)

Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8

\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)

\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).

                                    Lời giải

Dư đoán xảy ra cực trị tại \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Ta biến đổi P như sau: \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{2x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{1}{y}}-\left(x+y\right)\)\(=4\sqrt{2}-\left(x+y\right)\)

\(=4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{y^2.\frac{1}{2}}\right)\)

\(\ge4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\frac{x^2+y^2+1}{2}\right)=4\sqrt{2}-1\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

Vậy ...

min=43.

cho mk ý kiến nhé

\(B=\left(8x+\frac{2}{x}\right)+\left(18y+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{4}{x}+\frac{5}{y}\right)\ge2\sqrt{8x.\frac{2}{x}}+2\sqrt{18y.\frac{2}{y}}+23..\)

  \(B\ge2.4+2.6+23=43\)

B min = 43 khi \(\hept{\begin{cases}8x=\frac{2}{x}\\18y=\frac{2}{y}\\\frac{4}{x}=\frac{5}{y}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{cases}.}}\)

lại bị trùng rồi quỳnh ơi , https://olm.vn/hoi-dap/detail/76355556031.html

Câu hỏi của Con Heo - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM

Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24

mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không

Ta co A = 2(x+y)+\(\frac{2}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{2\left(x+y\right).\frac{2}{x+y}}\)^{=4          khi x=y =\(\frac{1}{2}\)}