đúng

tui đang trên mạng olm đó

Em kiểm tra lại đề ở tỉ số đầu tiên

\(\dfrac{2a+2b-2c}{c}=\dfrac{2b-2c+2a}{a}\)

Hay là: \(\dfrac{2a+2b-2c}{c}=\dfrac{2b+2c-2a}{a}\)

TH1:

Nếu \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Khi đó:\(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

\(=\left(1-\frac{b+c}{b}\right)\left(1-\frac{a+c}{c}\right)\left(1-\frac{a+b}{a}\right)\)

\(=\frac{-c}{b}\cdot\frac{-a}{c}\cdot\frac{-b}{a}\)

\(=-1\)

\(TH2:a+b+c\ne0\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\frac{a}{b+2c}=\frac{b}{c+2a}=\frac{c}{a+2b}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a=b+2c\\3b=c+2a\\3c=a+2b\end{cases}}\Rightarrow3\left(a+b+c\right)=3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó:\(P=\left(1+\frac{a}{a}\right)\left(1+\frac{a}{a}\right)\left(1+\frac{a}{a}\right)=8\)

\(\frac{a+b+c-2d}{a}=\frac{b+d+a-2c}{b}=\frac{b+d+c-2a}{c}=\frac{a+c+d-2b}{d}\)

\(=\frac{\left(a+b+c-2d\right)+\left(b+d+a-2c\right)+\left(b+d+c-2a\right)+\left(a+c+d-2b\right)}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d\).

\(M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{d}\right)\left(1+\frac{d}{a}\right)=2^4=16\)

Còn câu hỏi đâu bạn? Nguyễn Ngân Hà

+) x + b + c ≠ 0

Ta có :

\(\frac{a-b+c}{2b}=\frac{c-a+b}{2a}=\frac{a-c+b}{2c}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b+c}{2b}+1=\frac{c-a+b}{2a}+1=\frac{a-c+b}{2c}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2b}=\frac{a+b+c}{2a}=\frac{a+b+c}{2c}\)=> 2a = 2b = 2c ( do a + b + c ≠ 0 )

 \(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow P=\left(1+\frac{c}{c}\right).\left(1+\frac{b}{b}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right)=2.2.2=8\)

+) a + b + c = 0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a-b+c}{2b}=\frac{c-a+b}{2a}=\frac{a-c+b}{2c}=\frac{a-b+c+c-a+b+a-c+b}{2b+2a+2c}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{0}{0}\left(\text{vô lý}\right)\)

Vậy P chỉ nhận 1 giá trị là P = 8

áp dụng cái này: 
a²/x + b²/y + c²/z +d²/t ≥ (a + b +c +d)²/(x + y + z + t) (wen thuộc) 
1/a + 1/b + 1/b + 1/c ≥ 16/(a + 2b +c) 
1/a + 1/b + 1/c + 1/c ≥ 16/(a + b +2c) 
1/a + 1/a + 1/b + 1/c ≥ 16/(2a + b +c) 
Cộng 3 vế lại: 
1/a + 1/b +1/c ≥ 4[1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)] 
⇔ ¼ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b) 
⇒ ½ (1/a + 1/b +1/c) ≥ ¼ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b) 
⇔ ½ (1/a + 1/b +1/c) ≥ 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b) 
Dấu = xra khi a = b = c và 1/a + 1/b +1/c = 0 
⇒ dấu = không xảy ra. 
⇒ ½ (1/a + 1/b +1/c) > 1/(a+2b+c) + 1/(b+2c+a) + 1/(c+2a+b)