Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)

Với \(a+b=0\)

Thì \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^{2005}}+\frac{1}{b^{2005}}+\frac{1}{c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\\\frac{1}{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}=\frac{1}{c^{2005}}\end{cases}}\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại ta có ĐPCM

Từ giả thiết ta suy ra được:

\(\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\left(1\right)\)

Vì: \(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}>0\)

Và: \(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}>0\)

Và: \(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}>0\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow x=y=z=0\)

Vậy từ trên ta suy ra \(x^{2005}+y^{2005}+z^{2005}=0\)

^{(Làm đại :D)}

\(\frac{2005a}{ab+2005a+2005}+\frac{b}{bc+b+2005}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{a^2bc}{ab+a^2bc+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\)(vì abc=2005)

\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{ac+1+c}=1\)

\(a+b+c=3abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\left(chia:abc\right);\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=-5\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\cdot1=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)

Vậy....

Thau abc = 2005 vào đề bài ta có:

N = abc.a/ab+abc.a+abc + b/bc+b+abc + c/ac+c+1

N = a^2bc/ab(1+ac+c) + b/b(c+1+ac) + c/ac+c+1

N = ac/1+ac+c + 1/(c+1+ac) + c/ac+c+1

N = ac+1+c/ac+1+c = 1

=> đpcm

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\left(đpcm\right)\)

Đúng là câu b sai, nhầm dấu đoạn đầu, phải là \(\frac{2006.2006-\left(2005.2006+2005\right)}{2006.\left(2007-2005\right)}\)

Phá ngoặc thì thành trừ nhưng cô của em bạn lại sót=> sai luôn cả tính chất bài toán.

P/s: Thử lại bằng casio là thấy rõ bạn đúng.

Tư tưởng bảo thủ của bọn trẻ con và niềm tin mù quáng vào thầy cô đó bạn ^^