Ta có: \(a^3_n-a_n=\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)⋮3\) 

\(\Rightarrow\left(a^3_1+a^3_2+...+a^3_{2016}\right)-\left(a_1+a_2+...+a_{2016}\right)⋮3\) 

Mà \(a_1+a_2+...+a_{2016}⋮3\) 

\(\Rightarrow A=a_1^3+a_2^3+...+a^3_{2016}⋮3\) 

=> ĐPCM

Ta có tính chất sau 

\(\left(a_1^n+a_2^n+a_3^n+...+a_m^n\right)⋮\left(a_1+a_2+a_3+....+a_m\right)\) 

Với \(\hept{\begin{cases}n\equiv1\left(mod2\right)\\a,m,n\in N\end{cases}}\)

(Tự chứng minh)

Áp dụng tính chất trên vào bài 

Nhận thấy 3 là số lẻ 

=> \(A=\left(a_1^3+a_2^3+....+a_{2016}^3\right)⋮\left(a_1+a_2+....+a_{2016}\right)\)

<=> \(A⋮3\)

Vậy ............ 

Ta có: Xét với $a^3-a;a∈Z$

$=a(a^2-1)$

$=(a-1)a(a+1)$

Ta thấy với $a∈Z$ thì $(a-1);a;(a+1)$ là 3 số nguyên liên tiếp

$⇒$Có 1 số chia hết cho 3; ít nhất  1 số chia hết cho 2

$⇒\begin{cases}(a-1)a(a+1) \vdots 3\\ (a-1)a(a+1) \vdots 2\end{cases}$

$⇒(a-1)a(a+1) \vdots 6$ (do $(3;2)=1$)

Hay $a^3-a \vdots 6$

Vậy ta có: $a_1^3-a_1 \vdots 6;a_2^3-a_2 \vdots 6;a_100^3-a^100 \vdots 6$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3-(a_1+a_2+a_3+...+a_100) \vdots 6$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv a_1+a_2+a_3+...+a_100 (mod 6)$

Mà $a_1+a_2+a_3+...+a_100=2021^{2022}$

$2021 \equiv 5 (mod 6)$

$⇒2021^{2022} \equiv 5^{2022} (mod  6)$

Mà $5 \equiv -1 (mod 6)$

$⇒5^{2022} \equiv 1 (mod 6)$

$⇒2021^{2022} \equiv 1 (mod 6)$

tức $a_1+a_2+a_3+...+a_100 \equiv 1 (mod 6)$

Mà $a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv a_1+a_2+a_3+...+a_100 (mod 6)$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv 1 (mod 6)$

$⇒S \equiv 1 (mod 6)$

Hay $S-1 \vdots 6$ (đpcm)

Dạ cho hỏi là: mod6 với ba que là gì vậy ạ