Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Lời giải:

Xét \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\geq 0, \forall a,b>0\)

Do đó \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\) với mọi $a,b>0$

\(\Rightarrow b^3\geq ab(a+b)-a^3\)

\(\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{5a^3-[ab(a+b)-a^3]}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-b(a+b)}{b+3a}\)

hay \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{(2a-b)(3a+b)}{b+3a}=2a-b\)

Hoàn toàn tương tự ta có:

\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\text{VT}\leq a+b+c\leq 2018\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}\)

\(BDT\Leftrightarrow2a^4b+2b^4c+2c^4a+3ab^4+3bc^4+3ca^4\ge5a^2b^2c+5a^2bc^2+5ab^2c^2\)

Ta chứng minh được \(ab^4+bc^4+ca^4\ge a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

\(VT=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=VP\)

Vậy ta cần chứng minh \(2a^4b+2b^4c+2c^4a+2ab^4+2bc^4+2ca^4\ge4a^2b^2c+4a^2bc^2+4ab^2c^2\)

\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(2c^3+bc^2-b^2c+ac^2-a^2c+3ab^2+3a^2b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

sos là giúp đở = cứu ; helps cũng vậy

Ủa bị lỗi hả:v? 

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath làm tương tự chỗ cuối thay a+b+c=2015 là dc