- Nếu cả 3 số đều bằng 0 thì BĐT hiển nhiên đúng

- Nếu \(a+b+c\ne0\)

Do \(0\le a;c\le1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ac+1\ge a+c\)

\(\Leftrightarrow ac+b+1\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{c}{ac+b+1}\le\frac{c}{a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{a}{ab+c+1}\le\frac{a}{a+b+c};\) \(\frac{b}{bc+a+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;1;1\right)\) và hoán vị

lay 3-VT la xong ban ak,day la phuongphap dao dau ma

đề bỏ số 2 nha bạn

Áp dụng BĐT Cauchy -  Schwarz, ta có :

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)  

Tương tự , \(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\); \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\)

Cộng từng vế BĐT, ta được : 

\(2.\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c

Thank bạn

Lời giải:

Sửa lại điều kiện $ab+bc+ac=1$ mới đúng nhé bạn

Thay $1=ab+bc+ac$ ta có:

$A=(a^2+ab+bc+ac)(b^2+ab+bc+ac)(c^2+ab+bc+ac)$

$=(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)$

$=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2$

Vì $a,b,c\in\mathbb{Q}$ nên $(a+b)(b+c)(c+a)\in \mathbb{Q}$

Do đó $A$ là bình phương của số hữu tỉ.

Ta có đpcm.

Ta chứng minh 

\(\sqrt{a+bc}\ge1a+\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\left(1-a-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(đúng)

Từ đây ta suy ra được

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Một cách chứng minh rất sáng tạo ko lệ thuộc vào cách truyền thống. Cho bn 1 k

Xét: \(1+c^2=ab+bc+ca+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Tương tự CM được:

\(1+b^2=\left(a+b\right)\left(c+b\right)\) và \(1+a^2=\left(c+a\right)\left(b+a\right)\)

Mặt khác ta tách: \(\hept{\begin{cases}a-b=\left(a+c\right)-\left(b+c\right)\\b-c=\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\\c-a=\left(c+b\right)-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Thay vào ta được:

\(Vt=\frac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\)

\(=0\)

=> đpcm