Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo BĐT Cauchy Schwarz
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3
Khai triển của biểu thức trên là:
P=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=\(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=\(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)với mọi x,y dương \(\Rightarrow\frac{P}{3+2+2+2}=9\)
Vậy \(P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có : \(P=a+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)Với mọi \(x,y\)dương \(\Rightarrow P=3+2+2+2=9\)
Vậy \(Pmir=9\)khi \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Vậy MinP=9 đạt được khi a=b=c
Ta có : \(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}++\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
= \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với mọi \(x,y\) dương
\(\Rightarrow P\ge3+2+2+2=9\)
Vậy \(P_{min}=9\) khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!