Lời giải:

Thực chất đề bài chỉ cần điều kiện $ab\geq 1$ là đủ rồi bạn.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2+1)(b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\)

(luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $ab=1$ hoặc $a=b$

cau b . ta co 

a⁴+b^{4\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)}\(\ge\)\(\frac{\frac{1}{16}}{2}\)=1/32

câu a đề phải là 12ab 

Dùng BĐT cô si 

\(ab\ge2\sqrt{ab}\)

\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)

a/ \(\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

b/ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng

c/ \(M=x^4-6x^3+13x^2-12x-5\)

Đặt \(x^2-3x=a\)thì ta có:

\(M=a^2+4a-5=\left(a+2\right)^2-9\ge-9\)

Dấu = xảy ra khi:

\(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

Xét A= \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\)

\(2A=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\\ =\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\\ =\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\\ \Rightarrow A\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Bài 2:

Xét \(A=a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}-a-b-c\)

\(\Rightarrow A=\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)\\ =\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b,c\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

Tự nhiên lục được cái này :'( 

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

a/Xét hiệu ta có: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{b}-a^2-ab=\left(a+b\right)\left(\frac{a^2-ab+b^2}{b}\right)-a\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(\frac{a^2}{b}-2a+b\right)=\left(a+b\right)\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\RightarrowĐPCM\)

b/Tương tự ở câu a, ta cũng có:

\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\left(1\right),\frac{b^3}{c}\ge b^2+bc-c^2\left(2\right),\frac{c^3}{a}\ge c^2+ca-a^2\left(3\right)\)

Cộng (1),(2) và (3) \(VT\ge a^2+ab-b^2+b^2+bc-c^2+C^2+bc-a^2=ab+bc+ca\left(ĐPCM\right)\)