a^4 - 1 = (a²-1)(a²+1) 

* bình phương của 1 số nguyên chia 3 dư 1 hoặc 0 
do a nguyên tố > 5 nên a ko chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1 => a²-1 chia hết cho 3 
=> a^4 - 1 chia hết cho 3 

* bình phương của số nguyên chia 5 dư 0, 1 hoặc 4 
a nguyên tố > 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4 
nếu a² chia 5 dư 1 => a²-1 chia hết cho 5 
nếu a² chia 5 dư 4 => a²+1 chia hết cho 5 
=> a^4 - 1 chia hết cho 5 
* a nguyên tố > 5 => a lẻ ; đặt a = 2m+1 
a^4 - 1 = (a-1)(a+1)(a²+1) = (2m)(2m+2)(4m²+4m+2) 
a^4 - 1 = 8(m)(m+1)(2m²+2m+1) 
m(m+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 => a^4 -1 chia hết cho 16 

từ 3 điều trên và chú ý BCNN[3,5,16] = 240 => a^4 - 1 chia hết cho 240 

ta có khai triển: 
b^n - 1 = (b-1).[b^(n-1) + b^(n-2) + ...+ 1] = (b-1).p 

ad với b = a^4 ; (a^4)^k - 1 = (a^4 -1).p 
mà a^4 -1 chia hết cho 240 nên a^4k - 1 = (a^4 -1)p chia hết cho 240 

         Lần sau ghi dấu nhé pn !

 a^4 - 1 = (a²-1)(a²+1) 

* bình phương của 1 số nguyên chia 3 dư 1 hoặc 0 
do a nguyên tố > 5 nên a ko chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1 => a²-1 chia hết cho 3 
=> a^4 - 1 chia hết cho 3 

* bình phương của số nguyên chia 5 dư 0, 1 hoặc 4 
a nguyên tố > 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4 
nếu a² chia 5 dư 1 => a²-1 chia hết cho 5 
nếu a² chia 5 dư 4 => a²+1 chia hết cho 5 
=> a^4 - 1 chia hết cho 5 
* a nguyên tố > 5 => a lẻ ; đặt a = 2m+1 
a^4 - 1 = (a-1)(a+1)(a²+1) = (2m)(2m+2)(4m²+4m+2) 
a^4 - 1 = 8(m)(m+1)(2m²+2m+1) 
m(m+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 => a^4 -1 chia hết cho 16 

từ 3 điều trên và chú ý BCNN[3,5,16] = 240 => a^4 - 1 chia hết cho 240 

ta có khai triển: 
b^n - 1 = (b-1).[b^(n-1) + b^(n-2) + ...+ 1] = (b-1).p 

ad với b = a^4 ; (a^4)^k - 1 = (a^4 -1).p 
mà a^4 -1 chia hết cho 240 nên a^4k - 1 = (a^4 -1)p chia hết cho 240 .

             Lần sau ghi dấu nhé pn !

A=4a^2+8ab+4b^2 - 5ab-15b^2 = 4(a+b)^2 - 5b(a+3b) ta thấy -5b(a+3b) luôn là 1 số chia hết 5

Vậy A chia hết 5 thì (a+b) cũng chia hết 5 => B = a^4-b^4 = (a^2+b^2)(a+b)(a-b) cũng chia hết 5

Đây là điều đương nhiên ko cần phải chứng minh
 

n²-m²=(n²-1)-(m²-1)=(n-1)(n+1)-(m-1)(m+1)

vì m là các số nguyên tố >3=>m là các số lẻ

=>m-1 và m+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=>(m-1)(m+1) chia hết cho 8

xét m=3q+1=>m-1=3q=>(m-1)(m+1) chia hết cho 3

xét m=3q+2=>m+1=3q+3=3(q+1)=>(m-1)(m+1) chia hết cho 3

=>(m-1)(m+1) chia hết cho 3

vì (3;8)=1=>(m-1)(m+1) chia hết cho 24

vì n là các số nguyên tố >3=>n là các số lẻ

=>n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=>(n-1)(n+1) chia hết cho 8

xét n=3k+1=>n-1=3k=>(n-1)(n+1) chia hết cho 3

xét n=3k+2=>n+1=3k+3=3(k+1)=>(n-1)(n+1) chia hết cho 3

=>(n-1)(n+1) chia hết cho 3

vì (3;8)=1=>(n-1)(n+1) chia hết cho 24

=>(n²-1)-(m²-1) chia hết cho 24

=>n²-m² chia hết cho 24

=>đpcm

1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

Đặt A = (a + 2)² - (a - 2)² (Hằng đẳng thức số 3)

=>  A = (a + 2 - a + 2)(a + 2 + a - 2)

=> A = 4.2a  \(⋮4\)với mọi a

Vậy (a + 2)² - (a - 2)² chia hết cho 4 (Điều phải chứng minh)

= (a+2-a+2)(a+2+a-2)

= 4.2a=> chia hết cho 4 nhé 

n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)

Do n;n+1;n-1 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó tồn tại 1 số chia hết chio 2 và 1 số chia hết cho 3

=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

Ta có :

\(\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2\)

\(=\left(a+2-a+2\right)\left(a+2+a-2\right)\)

\(=4.2a\)

\(=8a\)

Mà \(a\in Z\Leftrightarrow8a⋮4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2⋮4\left(đpcm\right)\)