\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\\\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\le1\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(1) đúng với mọi x,y,z thuộc R =>đúng với mọi x,y,z thuộcZ

có

điều kiện cần thỏa mãn (2)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|3x-2y\right|\le1\\\left|y+z\right|\le1\\\left|z-x\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(a\right)\\\left(b\right)\\\left(c\right)\end{matrix}\)

\(\left(b\right)+\left(c\right)\Leftrightarrow\left|y+z\right|+\left|z-x\right|=\left|y+z\right|+\left|x-z\right|\ge\left|y+z+x-z\right|=\left|y+x\right|\) (d)

\(\left|3x-2y\right|+\left|2y+2x\right|\ge\left|3x-2y+2y+2x\right|=\left|5x\right|\)

cần : \(\left|5x\right|\le2\Leftrightarrow x=\left\{0;\pm1\right\}\)

x=0 từ (a) => y =0 ; từ (b) (c)=z =0 ; (x;y;z) =(0;0;0)

x=1 từ (a) =y={1;2}

với y=1 từ (b) => z=-1 ; (x;y;z) =(1;1;-1)

với y=2 từ (b) => z =-2 từ (c) $|-2-1| \ne 0$ loại

x=-1 từ (a) =y={-1;-2}

với y=-1 từ (b) => z= 1 ; (x;y;z) =(-1;-1;1)

với y=-2 từ (b) => z = 2 từ (c) $| 2+1| \ne 0$ loại

kết luận

(x;y;z) =(0;0;0);(1;1;1); (-1;-1;1)

cảm ơn

ok K đi

Ta có:

\(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1\Leftrightarrow x^2;y^2;z^2\le1\) (1)

Trong 3 số \(x;y;z\)có ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là \(x;y\)) ta có: \(xy\ge0\Rightarrow2xy\ge0\)(2)

\(x^2+y^4+z^6=x^2+y^2.y^2+z^2.z^2.z^2\le x^2+y^2+z^2\)(3)

ta sẽ chứng minh:

\(x^2+y^2+z^2\le2\) ta có: 

\(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2xy\)(từ (2) )

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right)^2+z^2=\left(-z\right)^2+z^2=2z^2\le2\)(từ (1)  )

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le2\left(đpcm\right)\)(từ (3) )

Ta có:

−1≤x≤1;−1≤y≤1;−1≤z≤1⇔x2;y2;z2≤1 (1)

Trong 3 số x;y;zcó ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là x;y) ta có: xy≥0⇒2xy≥0(2)

x2+y4+z6=x2+y2.y2+z2.z2.z2≤x2+y2+z2(3)

ta sẽ chứng minh:

x2+y2+z2≤2 ta có: 

x2+y2+z2≤x2+y2+z2+2xy(từ (2) )

⇒x2+y2+z2≤(x+y)2+z2=(−z)2+z2=2z2≤2(từ (1)  )

⇒x2+y4+z6≤2(đpcm)(từ (3) )

 ..

cbfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffsdhnc

b gipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipgipụt

Từ điều kiện đề bài ta có:

\(x^2,y^2,z^2\le1\)

Trong 3 số x, y, z có 2 số cùng dấu: Giả sử là x,y (các trường hợp khác làm tương tự)

\(\Rightarrow xy\ge0\)

Ta có:

\(x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le z^2+\left(x^2+2xy+y^2\right)=2z^2\le2\)

Dấu = xảy ra khi x = 0; y = 1; z = - 1.

Vì \(x+y+z=0.\)

\(\Rightarrow x+y=-z.\)

Ta có:

\(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1.\)

\(\Leftrightarrow x^2;y^2;z^2\le1\)

Trong 3 số x ; y ; z có ít nhất 2 số cùng dấu (giả sử là x ; y). Ta có:

\(xy\ge0\)

\(\Rightarrow2xy\ge0\)

Có:

\(x^2+y^4+z^6=x^2+y^2.y^2+z^2.z^2.z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\) (1).

Ta phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2\le2.\)

Có:

\(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2xy.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right).2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(-z\right).2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le2z^2\le2\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le2\left(đpcm\right).\)

Chúc em học tốt!