Xét phương trình 

\(x^3-3x^2+5x-17=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)-14=0\text{ }\left(1\right)\)

Chứng minh (1) có 1 nghiệm duy nhất: 

+Phương trình bậc ba luôn có tối thiểu 1 nghiệm

+Giả sử (1) có 1 nghiệm là \(x=a\)

Nếu \(x>a\) thì \(x-1>a-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^3>\left(a-1\right)^3\\x-1>a-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)-14>\left(a-1\right)^3+2\left(a-1\right)-14=0\) => (1) vô nghiệm

Nếu \(x< a\), tương tự, (1) cũng vô nghiệm.

Vậy (1) có duy nhất 1 nghiệm 

Xét phương trình 

\(y^3-3y^2+5y+11=0\text{ }\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(2-y\right)^3-3\left(2-y\right)^2+5\left(2-y\right)-17=0\)

Đây chính là phương trình (1) nhưng với biến \(2-y\) nên có nghiệm \(2-y=a\); mà theo đề bài, nghiệm của (2) là \(y=b\)

Nên \(2-b=a\)

\(\Rightarrow a+b=2\)

Xét phương trình 

x3−3x2+5x−17=0⇔(x−1)3+2(x−1)−14=0 (1)

Chứng minh (1) có 1 nghiệm duy nhất: 

+Phương trình bậc ba luôn có tối thiểu 1 nghiệm

+Giả sử (1) có 1 nghiệm là x=a

Nếu x>a thì x−1>a−1⇒{

⇒(x−1)3+2(x−1)−14>(a−1)3+2(a−1)−14=0 => (1) vô nghiệm

Nếu x<a, tương tự, (1) cũng vô nghiệm.

Vậy (1) có duy nhất 1 nghiệm 

Xét phương trình 

y3−3y2+5y+11=0 (2)⇔(2−y)3−3(2−y)2+5(2−y)−17=0

Đây chính là phương trình (1) nhưng với biến 2−y nên có nghiệm 2−y=a; mà theo đề bài, nghiệm của (2) là y=b

Nên 2−b=a

⇒a+b=2

\(a^3-3a^2+3a-1+2a-16=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^3+2a-16=0\)

Tương tự: \(\left(b-1\right)^3+2b+12=0\)

Cộng vế với vế:

\(\left(a-1\right)^3+\left(b-1\right)^3+2\left(a+b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left[\left(a-1\right)^2-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(b-1\right)^2+2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2=0\)

Xem lại đề đi!

hình như đề đúng mà bạn

Nếu sai bạn sửa hộ mình

Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Ta có BĐT phụ \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{b\left(a+3b\right)}\le0\) *luôn đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(P\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c=3\)

Dấu '=" khi \(a=b=c=1\)

Xét \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}-\left(2b-a\right)=\frac{5a^3-a^3-\left(ab+3b^2\right)\left(2b-a\right)}{ab+3b^2}\)

\(=\frac{5b^3-a^3-\left(2ab^2-a^2b+6b^3-3b^2a\right)}{ab+3b^2}=\frac{-b^5-a^3+a^2b+b^2a}{ab+3b^2}\)

\(=\frac{-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{ab+3b^3}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

Ta có 2 BĐT tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\\\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế BĐT trên ta được \(P\le2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

Ta đi chứng minh: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}\le2b-a\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

Một cách tương tự:\(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}\le2c-b;\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)

Cộng lại thì:

\(LHS\le a+b+c=3\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1