Đừng dùng đạo hàm hay gì nhá

\(\lim\dfrac{1+a+...+a^n}{1+b+...+b^n}=\lim\dfrac{\dfrac{1-a^n}{1-a}}{\dfrac{1-b^n}{1-b}}=\lim\dfrac{\left(1-a^n\right)\left(1-b\right)}{\left(1-b^n\right)\left(1-a\right)}=\dfrac{1-b}{1-a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1-b}{1-a}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow3-3b=2-2a\)

\(\Leftrightarrow2a-3b=-1\)

Bài này đặt ở khu vực lớp 12 mình còn giải (vì có thể sử dụng tọa độ hóa cực lẹ)

Còn lớp 11 thì dựng hình được, nhưng việc tính toán số liệu sau đó đúng là thảm họa.

Nếu \(a\ne0\Rightarrow\lim\dfrac{an^3+bn^2+2n+4}{n^2+1}=\lim\dfrac{an+b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=\infty\) ko thỏa mãn

\(\Rightarrow a=0\)

Khi đó: \(\lim\dfrac{bn^2+2n+4}{n^2+1}=\lim\dfrac{b+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=b\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow2a+b=1\)

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\)

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a  = 1\)

 \(\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a  = 1\)

\(\Leftrightarrow {\cos ^2}a =  1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}\)

\(\Leftrightarrow \cos a  =\pm\sqrt { \frac{8}{9}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Vì \(\cos a < 0\) nên \(cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\)

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\)

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\sin a > 0,\cos a < 0\)

\({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)

Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}\)

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0\)

\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) (Vì \(\cos a < 0)\)

\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\)

Tham khảo nhé :

ê P ở đâu mà bảo người ta tham khảo?

3: Ta có \(\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}-1\).

Do đó \(\dfrac{1}{u_{100}}=\dfrac{1}{u_{99}}-1=\dfrac{1}{u_{98}}-2=...=\dfrac{1}{u_1}-99=\dfrac{1}{-2}-99=\dfrac{-199}{2}\Rightarrow u_{100}=\dfrac{-2}{199}\).