sai đề ko bạn

KO ban ạ

vừa làm trên học24 xong mà ko đưa dc link thôi nhai lại vậy :v

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\frac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\frac{3a^2}{\sqrt{7}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3b^2}{\sqrt{7}};\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3c^2}{\sqrt{7}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2P+\frac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\frac{3\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\frac{\frac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{42}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Có thiếu dấu . nào ko nhỉ :v, tự nhai lại nên vẫn thấy ngon :v

bài này 
áp dụng cô si ta có 
a³/b + ab ≥ 2a² 
b³/c + bc ≥ 2b² 
c³/a + ac ≥ 2c² 
+ + + 3 cái lại 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc 
mặt khác ta có 
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé) 
thay vào 
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ a² + b² + c² ≥ 1 
=>minP = 1 
dấu bằng xảy ra <=. a = b = c = 1/√3 
( bài này sử dụng A + B ≥ 2C mà B ≤ C => A ≥ C)

k và kết bạn cho mình nha !!!

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(2\ge a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le1\)

\(A=a\sqrt{3b\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\)

\(\le\dfrac{a\left(3b+a+2b\right)}{2}+\dfrac{b\left(3a+b+2a\right)}{2}\)

\(=\dfrac{a\left(5b+a\right)+b\left(5a+b\right)}{2}\)

\(=\dfrac{a^2+10ab+b^2}{2}\)

\(\le\dfrac{2+10}{2}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

Lời giải:

Ta có:

\(A=\sqrt[3]{a+b+1}+\sqrt[3]{b+c+1}+\sqrt[3]{a+c+1}\)

\(\Rightarrow A\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{9(a+b+1)}+\sqrt[3]{9(b+c+1)}+\sqrt[3]{9(a+c+1)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\sqrt[3]{9(a+b+1)}\leq \frac{3+3+(a+b+1)}{3}\)

\(\sqrt[3]{9(b+c+1)}\leq \frac{3+3+(b+c+1)}{3}\)

\(\sqrt[3]{9(c+a+1)}\leq \frac{3+3+(c+a+1)}{3}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

\(\sqrt[3]{9}A\leq \frac{7+a+b}{3}+\frac{7+b+c}{3}+\frac{7+a+c}{3}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{9}A\leq \frac{21+2(a+b+c)}{3}=\frac{21+2.3}{3}=9\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{9}{\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}\)

Vậy GTLN của $A$ là \(3\sqrt[3]{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt[3]{a+b+1}\\y=\sqrt[3]{b+c+1}\\z=\sqrt[3]{a+c+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=A\\x^3+y^3+z^3=9\end{matrix}\right.\)

\(A^3=9+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

BDT ; \(3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{8}{9}A^3\)\(\Leftrightarrow A^3\le9+\dfrac{8}{9}A^3\Leftrightarrow A^3\le81;A\le\sqrt[3]{81}=3.\sqrt{3}\)

dang thuc ; x=y=z <=> a=b=c=1

\(\left(2+7\right)\left(2a^2+\dfrac{7}{b^2}\right)\ge\left(2a+\dfrac{7}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+\dfrac{7}{b^2}}\ge\dfrac{1}{3}\left(2a+\dfrac{7}{b}\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{2b^2+\dfrac{7}{c^2}}\ge\dfrac{1}{3}\left(2a+\dfrac{7}{c}\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+\dfrac{7}{a^2}}\ge\dfrac{1}{3}\left(2c+\dfrac{7}{a}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\ge\dfrac{1}{3}\left(2a+2b+2c+\dfrac{7}{a}+\dfrac{7}{b}+\dfrac{7}{c}\right)=2+\dfrac{7}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(VT\ge2+\dfrac{7}{9}.\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) (do \(a+b+c=3\))

\(VT\ge2+\dfrac{7}{9}.\left(\sqrt{a}.\sqrt{\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\dfrac{1}{c}}\right)^2=9\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)