Gọi ước chung lớn nhất của 8a + 3b và 5a + 2b là d

=> 8a + 3b chia hết cho d => 5.(8a+3b) = 40a + 15b chia hết cho d

=> 5a + 2b chia hết cho d => 8.(5a+2b) = 40a + 16b chia hết cho d

<=> ( 40a + 16b ) - (40a + 15b ) chia hết cho d

= 1 chia hết cho d

=> d = 1 

 Monkey D.Luffy rễ là sao ??/

\(\frac{8a+3b}{5a+2b}=\frac{5a+3a+b+2b}{5a+2b}=\frac{5a+2b}{5a+2b}+\frac{3a+b}{5a+2b}=1+\frac{3a+b}{5a+2b}\)

3a+b và 5a+2b là nguyên tố cùng nhau

=> điều cần CM

\(\frac{8a+3b}{5a+2b}=\frac{5a+3a+b+2b}{5a+2b}=\frac{5a+2b}{5a+2b}+\frac{3a+b}{5a+2b}=1+\frac{3a+b}{5a+2b}\)

⇒ 8a + 3b và 5a + 2b là nguyên tố cùng nhau

⇒ \(\frac{8a+3b}{5a+2b}\) là phân số tối giản

Cách 2 : Gọi d là ƯC ( 8a + 3b; 5a + 2b )

⇒ 8a + 3b ⋮ d ; 5a + 2b ⋮ d

Nên [ ( 8a + 3b ) - ( 5a + 2b ) ] ⋮ d

⇒ [ 2.( 8a + 3b ) - 3.( 5a + 2b ) ] ⋮ d

⇒ [ ( 16a + 6b ) - ( 15a + 6b ) ] ⋮ d

⇒ [ 16a - 15a ] ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = + 1

Vì ƯC ( 8a + 3b; 5a + 2b ) = + 1 nên \(\frac{8a+3b}{5a+2b}\) là phân số tối giản

Gọi x là \(ƯC\left(8a+3b,5a+2b\right)\)

Ta có : \(8a+3b⋮x,5a+2b⋮x\)

\(\Rightarrow8a+3b-5a+2b⋮x\)

\(\Rightarrow2\left(8a+3b\right)-3\left(5a+2b\right)⋮x\)

\(\Rightarrow16a+16b-15a+6b⋮x\)

\(\Rightarrow1a⋮x\)

Vậy \(d=1\)nên \(8a+3b\)và \(5a+2b\)cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi \(d=ƯCLN\)\(\left(8a+3b;5a+2b\right)\)\(\left(d>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}8a+3b⋮d\\5a+2b⋮d\end{cases}\left(1\right)}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(8a+3b\right)⋮d\\8\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}40a+15b⋮d\\40a+16b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(40a+16b\right)-\left(40a+15b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow b⋮d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(8a+3b\right)⋮d\\3\left(5a+2b\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}16a+6b⋮d\\15a+6b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(16a+6b\right)-\left(15a+6b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow a⋮d\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)

Mà \(\left(a;b\right)=1\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(8a+3b;5a+2b\right)=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)