\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)\)

\(=a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2.

Vậy MinA=1/2.

(bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\) thì bạn tự c/m nhé)

ok cảm ơn bn

Sửa đề: Cho a , b ,c dương thỏa mãn: a + b + c = 6abc .   Phần dưới vẫn như vậy.

Ta có thể viết:

\(Q=\frac{bc}{a^3\left(c+2b\right)}+\frac{ca}{b^3\left(a+2c\right)}+\frac{ab}{c^3\left(b+2a\right)}\Leftrightarrow Q=\frac{1}{a^3}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{1}{b^3}+\frac{ca}{a+2c}+\frac{1}{c^3}+\frac{ab}{b+2a}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Leftrightarrow Q=\frac{1}{a^3b^3c^3}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{ca}{a+2c}+\frac{ab}{b+2a}\Leftrightarrow\frac{1}{\left[\left(a\right)\left(b\right)\left(c\right)\right]^9}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{ca}{a+2c}+\frac{ab}{b+2a}\)

Do đó:

\(Q^9=\frac{1}{\left[\left(a\right)\left(b\right)\left(c\right)\right]}\Rightarrow Q^9\ge0\) , mà a , b ,c thỏa mãn a + b + c = 6abc

Vậy GTNN của Q là:    6000 : 9 = 666,6

Vậy dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{\left[\left(a\right)\left(b\right)\left(c\right)\right]}=666,6\) 

\(\Rightarrow Q\) đạt GTNN bằng 666,6 và khi a =b =c = 666,6

Ps: Giải chơi nhé! Đừng làm theo! Mình không chịu trách nhiệm hay bất cứ hình phạt nào như: Trừ điểm hỏi đáp, hack nic mình đâu nhé!

1/\(=4a^2+4b^2+c^2+8ab-4bc-4ca+4b^2+4c^2+a^2+8bc-4ca-4ab+4a^2+4c^2+b^2+8ca-4bc-4ab=\)

\(=9a^2+9b^2+9c^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

2/

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge-2\left(ab+bc+ca\right)=2\)

\(\Rightarrow P=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge18\)

\(\Rightarrow P_{min}=18\)

a)  Điều kiện :  \(a\ne-b;b\ne1;a\ne-1\)

\(P=\frac{a^2\left(1+a\right)-b^2\left(1-b\right)-a^2b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{a^3+a^2+b^3-b^2-a^2b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a+b\right)\left(a-b\right)-a^2b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+a-b-a^2b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{a^2+b^2-a^2b^2+a-b-ab}{\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{a^2\left(1-b^2\right)-\left(1-b^2\right)+a\left(1-b\right)+\left(1-b\right)}{\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{\left(1-b\right)\left(a^2+a^2b-1-b+a+1\right)}{\left(1-b\right)\left(1+a\right)}\)

\(P=\frac{a^2+a^2b+a-b}{1+a}\)

\(P=\frac{a\left(a+1\right)+b\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{1+a}\)

\(P=\frac{\left(a+1\right)\left(a+ab-b\right)}{1+a}\)

P = a + ab - b

b)

P = 3

<=>  a + ab - b = 3

<=>  a(b+1) - (b+1) +1 - 3 = 0

<=>   (b+1)(a-1)  = 2

Ta có bảng sau với a, b nguyên

Vậy (a;b) \(\in\){ (3; 0) ; (0; -3)}

chờ bông băng đi cấp cứu đã

bà kiếm mấy bài cực trị này ở đâu z? chỉ t vs ,cho t đề cx đc

b: \(B\ge2021\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=3