\(4=2a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{b^2}{4}=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab\right)-ab+2\)

\(\Rightarrow4=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-ab+2\)

\(\Rightarrow ab=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-2\ge-2\)

\(M_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-\dfrac{1}{a}=0\\a+\dfrac{b}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)

\(\dfrac{\widehat{A}}{1}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{3}=\dfrac{\widehat{D}}{4}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+2+3+4}=\dfrac{360^0}{10}=36^0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=36^0\\\widehat{B}=72^0\\\widehat{C}=108^0\\\widehat{D}=144^0\end{matrix}\right.\)

a. \(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\). Thay vào ta được:

\(A=\left(1-2y\right)^2+2y^2=1-4y+4y^2+2y^2=6y^2-4y+1=6\left(y^2-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{3}\right)=6\left(y^2-2.y.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{4}{3}=\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{4}{3}\)\(\Rightarrow Min_A=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{3}\)

b. \(4x-3y=7\Rightarrow x=\dfrac{7+3y}{4}\) Thay vào ta được:

\(2.\left(\dfrac{7+3y}{4}\right)^2+5.y^2=2.\left(\dfrac{49+42y+9y^2}{16}\right)+5y^2=\dfrac{98+84y+18y^2+80y^2}{16}=\dfrac{98y^2+84y+98}{16}=\dfrac{98\left(y^2+\dfrac{6}{7}y+\dfrac{9}{49}\right)+80}{16}=\dfrac{98\left(y+\dfrac{3}{7}\right)^2+80}{16}\ge5\)\(\Rightarrow Min_B=5\Leftrightarrow x=\dfrac{10}{7};y=-\dfrac{3}{7}\)

c. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a^3 + b^3. - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

a, ap dung bunhiacopxki 

(1+1+1)A\(\ge\)(x+y+z)²=9

A\(\ge\)3 

Dau bang xay ra khi x=y=z=1

b, co Bmax ko co Bmin

\(\Rightarrow\dfrac{x+2}{4}< 0\Leftrightarrow x+2>0\Leftrightarrow x>-2\)

Ta có :

a\(^4\)+b\(^4\)= ( a^2 - b^2) ^2 + 2(ab)^2

               =( (a-b) * (a+b) )^2 +2 (ab)^2

=(a-b) ^2 +2(ab)^2 (a+b = 1)

= (a+b) ^2 + 2ab + 2(ab)^2

=1+ 2ab + 2(ab)^2

= (a^2*b^2) ^2 +a^2*b^2 

( Tự lập luận tiếp nhé lười đánh quá hihi)

Vậy min của biểu thức = 1

a^4+b^4=1

/x+y/=1

a, \(P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng bdt Cô-si ta có: \(P\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

b, Đặt \(t=\frac{1}{2004y}\)\(\Rightarrow t=\frac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}\)

\(=\frac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)

\(=\frac{x}{2004}+2+\frac{2004}{x}\)

Áp dụng bdt Cô-si ta có: \(t=\frac{1}{2004y}\ge2+2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 2004

\(\Rightarrow y\le\frac{1}{2004.4}=\frac{1}{8016}\)

Vậy GTLN của y = 1/8016 khi x = 2004

Từ giả thiết:

\(a+b+1=8ab\le2\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-1\le0\)

\(\Rightarrow\left(a+b-1\right)\left(2a+2b+1\right)\le0\)

\(\Rightarrow a+b-1\le0\) (do \(2a+2b+1>0\))

\(\Rightarrow1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)

Ta có:

\(A=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\dfrac{2ab}{a^2b^2}=\dfrac{2}{ab}\ge2.4=8\)

\(A_{min}=8\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

cho em hỏi là \(a+b+1=8ab\) ≤ \(2\left(a+b\right)^2\)

vì sao ạ? em chưa có hiểu lắm