a) Áp dụng bđt AM-GM: \(+\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2zx\end{cases}}\)\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z\)

b) Bổ đề; \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng : \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

c) Bổ đề: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng: \(B\le\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

d) \(A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Bài này tuy dễ nhưng hơi loằng ngoằng giữa các câu :))

a. Cách phổ thông : x² + y² + z²\(\ge\)xy + yz + zx

<=> 2 ( x² + y² + z² )\(\ge\)2 ( xy + yz + zx )

<=> ( x² - 2xy + y² ) + ( y² - 2yz + z² ) + ( z² - 2zx + x² )\(\ge\)0

<=> ( x - y )² + ( y - z )² + ( z - x )²\(\ge\)0 ( * )

Vì ( x - y )² \(\ge\)0 ; ( y - z )² \(\ge\)0 ; ( z - x )²\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z

=> ( * ) đúng 

=> A\(\ge\)B ; dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

b. Xài Cauchy cho mới

( x² + y² + z² ) ( 1² + 1² + 1² )\(\ge\)( x + y + z )² = 3² = 9

<=> 3 ( x² + y² + z² )\(\ge\)9 

<=> x² + y² + z²\(\ge\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy minA = 3 <=> x = y = z = 1

c. Theo câu a và câu b ta có : 3 ( xy + yz + zx )\(\le\)( x + y + z )² = 3² = 9

<=> xy + yz + zx\(\le\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1

Vậy maxB = 3 <=> x = y = 1

d. x + y + z = 3 . BP 2 vế ta được

x² + y² + z² + 2( xy + yz + zx ) = 9

Hay A + 2B = 9 . Mà B\(\le\)3 ( câu b )

=> A + B \(\ge\)6

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy min A + B = 6 <=> x = y = z = 1

\(A=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}\)

\(=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)(cauchy-schwarz dạng engel)

\(=7+4\sqrt{3}\)

M = \(\frac{a^4-16}{a^4-4a^3+8a^2-16a+16}\)

=> M = \(\frac{\left(a^2+4\right)\left(a^2-4\right)}{\left(a^4-4a^3+4a^2\right)+\left(4a^2-16a+16\right)}\)

M = \(\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a^2+4\right)}{a^2\left(a^2-4a+4\right)+4\left(a^2-4a+4\right)}\)

M = \(\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a^2+4\right)}{\left(a^2+4\right)\left(a^2-4a+4\right)}\)

M = \(\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a^2+4\right)}{\left(a^2+4\right)\left(a-2\right)^2}\)

M = \(\frac{a+2}{a-2}\)

Ta có : A = x³ - 3x² + 3x + 5 

              = (x³ - 3x² + 3x - 1) + 6

           A = (x - 1)³ + 6

Vì x\(\ge2\) nên : ( x - 1)³ \(\ge1\) 

Suy ra : A = (x - 1)³ + 6 \(\ge1+6\)

Vậy A = \(\ge7\)