Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}.2\sqrt{ab}=8abc\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\)

\(=8abc=VP\)

Khi \(a=b=c\)

BĐT\(\Leftrightarrow\)(a+b)+(b+c)+(c+a)\(\ge\)8abc

TA có BDT cô si

a+b\(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\)(a+b)(b+c)(a+c)\(\ge\)\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)

Vậy (1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)8abc

Mình trình bày hơi tắt 1 chút nhé  

Vì \(a+b+c=1\) nên \(\begin{cases}a+b=1-a\\a+c=1-b\\b+c=1-c\end{cases}\)

Ta có:

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{bc}=8abc\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\) (đpcm)

sao a+b+c=1 mà a+b=1-a vậy Kiệt? ,a+b=1-c chứ?

\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\le\sqrt{ab+bc+ca}\le\frac{1}{\sqrt{3}}\) chứ ạ?

- Nếu cả 3 số đều ko âm thì \(abc\le\frac{1}{27}\Rightarrow VT< 0\) BĐT luôn đúng

- Nếu 2 trong 3 số không âm thì \(abc\le0\Rightarrow VT< 0\) BĐT luôn đúng

Do đó ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp 2 số âm, 1 số dương

Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\a;b< 0\end{matrix}\right.\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=-p\\b=-q\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p;q;c>0\)

\(\Rightarrow c-p-q=1\Rightarrow c=p+q+1\)

BĐT trở thành: \(8pq\left(p+q\right)-8\le\left[\left(p+q\right)^2+p+q-pq-1\right]^2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}p+q=x>0\\pq=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2\ge4y\)

Ta cần c/m: \(8y\left(x+1\right)-8\le\left(x^2+x-y-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2y-x^2-10xy-2x+y^2-6y+9\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2y-2x^2-10xy-2x+8+\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4y\right)\ge0\)

Do \(\left(y-1\right)^2+\left(x^2-4y\right)\ge0\) nên ta chỉ cần chứng minh:

\(x^4+2x^3-2x^2y-2x^2-10xy-2x+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-2x^2\left(\frac{x^2}{4}\right)-2x^2-10x\left(\frac{x^2}{4}\right)-2x+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3-4x^2-4x+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+3x+4\right)\ge0\) (luôn đúng với \(x>0\))

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow p=q=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;3\right)\) và hoán vị

//Hơi trâu bò :(

hơn 1 năm rồi không ai làm :'(

a) Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)(2)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)(3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\left|abc\right|=8abc\)

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) khi đó thu được \(xyz=1\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{x^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\dfrac{x^2yz}{y+z}=\dfrac{x}{y+z}\)

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{z+x}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{x+y}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

Đánh giá cuối cùng đúng theo BĐT Cauchy

Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = 1.

Cảm ơn bạn nhé!

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\) Chứng minh tương tự ta được:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{b}{b+c}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\dfrac{3}{2}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}\right)\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có đánh giá sau với a không âm:

\(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{36a+3}{50}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(36a+3\right)\left(a^2+1\right)\ge50a\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{36b+3}{50}\) ; \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{36c+3}{50}\)

Cộng vế: \(VT\le\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=\dfrac{9}{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Ta chứng minh bđt phụ \(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\)

Thật vậy bđt trên \(\Leftrightarrow\dfrac{-3a^2+10a-3}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\left[\dfrac{3\left(3-a\right)}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{36\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}+a\right)}{50\left(1+a^2\right)}\le0\) ( luôn đúng với mọi \(a\)\(\ge\)0)

Tương tự cũng có:\(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(b-\dfrac{1}{3}\right)\); \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(c-\dfrac{1}{3}\right)\)

Cộng vế với vế => VT\(\le\dfrac{9}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a+b+c-1\right)=\dfrac{9}{10}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Tham Khao

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
(a + b) ≥ 2√ab
(b + c) ≥ 2√bc
(c + a) ≥ 2√ca
Vì a,b,c > 0 nên nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được:
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√a^2b^2c^2 =8abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c