Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.Ta có:
\(S_{OAC}+S_{OAB}-S_{OBC}=S_{ABC}\Rightarrow b.r_a+c.r_a-a.r_a=2S\Rightarrow S=\frac{r_a\left(b+c-a\right)}{2}=r_a\left(p-a\right).\)(p là nửa chu vi tam giác ABC)
Cm tương tự: \(S=r_a\left(p-a\right)=r_b\left(p-b\right)=r_c\left(p-c\right)=p.r\)
\(\Rightarrow\frac{S}{r_a}+\frac{S}{r_b}+\frac{S}{r_c}=p-a+p-b+p-c=3p-2p=p=\frac{S}{r}\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\)(đpcm)
Đặt BC=a, AC=b, AB=c
\(P=\frac{a+b+c}{2}\)
S là diện tích của tam giác ABC
Ta có công thức tính bán kính của các đường tròn bàng tiếp:
Tại góc A: \(r_a=\frac{S}{P-a}\)
Tại góc B: \(r_b=\frac{S}{P-b}\)
Tại góc C: \(r_c=\frac{S}{P-c}\)
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
\(r=\frac{S}{P}\)
=> \(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{P-a}{S}+\frac{P-b}{S}+\frac{P-c}{S}=\frac{3P}{S}-\frac{a+b+c}{S}\)
\(=\frac{3P}{S}-\frac{2P}{S}=\frac{P}{S}=\frac{1}{r}\)
\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!
Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp
\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{BIC}+S_{CIA}=\frac{1}{2}.AB.r+\frac{1}{2}.BC.r=\frac{1}{2}\)
\(AB+BC+CA.r=pr\)
P/s: Ko chắc
Ap dung cong thuc \(r=\frac{b+c-a}{2}\) (b=AC,c=AB , cai nay ban tu chung minh nhe)
ta co \(\frac{r}{a}=\frac{b+c-a}{2a}\le\frac{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2.a^2}-a}{2a}=\frac{a\sqrt{2}-a}{2a}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
Dau = xay ra khi b=c hay tam giac ABC vuong can tai A
\(h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\Rightarrow S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)
\(R=\frac{abb}{4S}=\frac{ab^2}{\sqrt{4b^2-a^2}.a}=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}\)
\(r=\frac{S}{p}=\frac{a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}{a+2b}\)
Gọi A; B; CD,E,F làn lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với BC; CA; AB
Khi đó: \(S=S_{BIC}+S_{CAI}+S_{BAI}=\frac{1}{2}\) \(BC.ID+CA.IE+AB.IF=p.r\)
\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\) \(a+b+c=p=\frac{S}{r}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Không tính tổng quát, giả sử: \(h_a\le h_b\le h_c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{h_a}\ge\frac{1}{h_b}\ge\frac{1}{h_c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{h_a}\ge\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow h_a\le3\)
Mặt khác: \(\frac{1}{h_a}< \frac{1}{r}=1\Rightarrow h_a>1\Rightarrow h_a\ge2\)
Vậy: \(h_a=2\)hoặc \(h_a=3\)
Nếu \(h_a=2\)
\(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)**
Ta có: \(a\ge b\ge c\)do \(h_a\le h_b\le h_c\)
Để a; b; clà 3 cạnh của một hình tam giác ta chỉ cần b + c > a do khi \(a\ge b\ge c\)theo ta sẽ có ngay a + c > b, a + b > c
\(\Leftrightarrow\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}>\frac{S}{h_a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}>\frac{1}{h_a}=\frac{1}{2}\)mâu thuẫn với **
Vậy, loại trường hợp này.
\(\Rightarrow h_a=3\Rightarrow h_b\ge h_c\ge3\)
\(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{h_b}\ge\frac{1}{h_c}\)
Suy ra: \(\frac{1}{h_b}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow h_b\le3\)
Mà: \(h_b\ge\frac{1}{3}\Rightarrow h_b\le3\)
Vậy: \(h_b=3\Rightarrow h_c=3\)
\(\RightarrowĐPCM\)