câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m

Bạn nói rõ hơn được không???

\(a=b=c=1\)

Dấu bằng xảy ra thì ai mà chẳng biết

Ap dung BDT Cosi nguoc dau:

    VT <=>    \(∑ a-{ab^2\over 1+b^2} ≥ ∑ a-{ab^2\over 2b}=∑ a-{ab\over 2} \)

                                     \(= a+b+c-{ab+ac+bc\over 2} \)

                                      \(≥ 3- {(a+b+c)^2\over 6}=3-{9\over 6}={3\over 2} \)           \( BDT {(a+b+c)^2\over 3} ≥ ab+ac+bc \)

 =>      DPCM

Ta có; \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)

Tương tự : \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\)

                 \(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge c\)

Cộng từng vế ta có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự : \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)

Cộng theo vế : \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

Đề phải là số thực không âm mới đúng