\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a\left(a^2+ac+ba+bc\right)\)

\(=a^3+a^2c+a^2b+abc=a^2\left(a+b+c\right)+abc\)

\(=a^20+abc=abc\) (1)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b\left(b^2+ba+cb+ca\right)\)

\(=b^3+b^2a+b^2c+abc=b^2\left(a+b+c\right)+abc\)

\(=b^20+abc=abc\) (2)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c\left(c^2+cb+ac+ab\right)\)

\(=c^3+c^2b+c^2a+abc=c^2\left(a+b+c\right)+abc\)

\(c^20+abc=abc\) (3)

từ (1);(2)và(3) ta có : \(M=N=P=abc\)

vậy khi \(\left(a+b+c\right)=0\)thì \(M=N=P\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

Ta có: \(a+b+c=0\)

=> \(a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a\)

Do đó:

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\)

=> M=N=P ( = abc)

Ta có : a + b + c = 0

=> a + b = -c ; a + c = -b ; b + c = -a

Thế vào M, N, P :

=> M = a.(-c).(-b) = -abc

N = b.(-a).(-c) = -abc

P = c.(-b).(-a) = -abc

Vậy M = N = P.

không biêt đâu

Bài làm:

Ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)

Thay vào ta được: \(\hept{\begin{cases}M=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\\N=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\\P=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=N=P\)

Bài này mình đã giải rồi nhé, bạn tìm ở câu hỏi tương tự nhé! Mình sẽ giải lại

Giải:

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\c+b=-a\end{matrix}\right.\)

Gắn các giá trị vào từng biểu thức, ta được:

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow M=a\left(-c\right)\left(-b\right)\)

\(\Leftrightarrow M=abc\left(1\right)\)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(\Leftrightarrow N=b\left(-a\right)\left(-c\right)\)

\(\Leftrightarrow N=abc\left(2\right)\)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(\Leftrightarrow P=c\left(-b\right)\left(-a\right)\)

\(\Leftrightarrow P=abc\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm

Vậy ...

Ta có: a+b+c=0(gt)

=> a+b=-c ; a+c=-b ; b+c=-a

M= a(a+b)(a+c)= a(-c)(-b)=abc

N = b(b+c)(b+a)=b(-a)(-c)=abc

P=c(c+a)(c+b)= c(-b)(-a)=abc

=> M=N=P

a+b+c=0 <=>a+b = -c , b+c= -a , c+a = -b

Khi đó thay a+b = -c, b+c = -a , c+a = -b vào thì ta được 

M=-abc

N=-abc

P=-abc

=> M=N=P

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(=a^3+a^2+a^2b+abc\)

\(=a^2\left(a+b+c\right)+abc=abc\)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(=b^3+b^2c+b^2a+abc\)

\(=b^2\left(a+b+c\right)+abc=abc\)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(=c^3+c^2a+c^2b+abc\)

\(=c^2\left(a+b+c\right)+abc=abc\)

\(\Rightarrow M=N=P\)

\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2

chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)

mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)

=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca

"=" xảy ra khi a=b=c

Chú ý: a+b=-c

b+c=-a

a+c=-b

thay các biểu thức này vào thì ta được M=N=P=abc

Từ a+b+c=0 => a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a

Mặt khác: M=a(a+b)(a+c)=a(-c)(-b)=abc

N=b(b+c)(b+a)=b(-a)(-c)=abc

P=c(c+a)(c+b)=c(-b)(-a)=abc

=>M=N=P (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cô - si , ta có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdot1\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a=b+c\\-b=c+a\\-c=a+b\end{cases}}\) (1)

Thay (1) vào M,N,P ta có:

 \(\hept{\begin{cases}M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a.\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\\N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b.\left(-a\right).\left(-c\right)=abc\\P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c.\left(-b\right).\left(-a\right)=abc\end{cases}\Rightarrow M=N=P\left(đpcm\right)}\)

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a=b+c\\-b=c+a\\-c=a+b\end{cases}}\)(1)

Thay (1) vào M, N, P, ta có:

\(\hept{\begin{cases}M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a.\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\\N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b.\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\\P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c.\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\end{cases}\Rightarrow M=N=P\left(đpcm\right)}\)