ta có:  \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{1}{3}.\)

=> 3x = y+z + t ( 1)   ;       3y = z+ t + x (2)    ;       3z = t + x + y (3)      ;      3t = x + y + z  (4)

từ (3) và (4) => x + y = 3t - z = 3 z - t => 4t = 4z => t = z (5) 

từ ( 1) và ( 2) => t + z = 3x - y = 3y - x => x = y ( 6) 

từ (2) và (3) => x + t = 3y - z = 3z - y => y = z (7)

từ ( 5) ; ( 6) và (7) ta có : x = y = z = t  thay vào biểu thức P ta được : P = 4 

Cộng 1 vào mỗi đẳng thức,ta có:

\(\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{t+x+y}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

Do đó:

Nếu x + y + z + t = 0 thì P = -4

Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì x = y = z = t nên P = 4

Giải thích thêm chỗ x + y + z + t = 0 suy ra \(P=-4\) nha:

Ta có: x + y + z + t =0

Suy ra: x + y = -(z+t) ;y + z = -(x+t)

z+ t = -(x + y); t + x = -(z+y)

Do đó: \(P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{z+y}\)

\(=\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(t+x\right)}{t+x}+\frac{-\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{-\left(z+y\right)}{t+x}\)

\(=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

*còn chỗ x + y + z + t khác không suy ra x = y = z = t thì quá đơn giản r =))

Nếu x+y+z+t = 0 => x+y = -(z+t) ; y+z = -(x+t) ; z+t = -(y+x) ; t+x = -(z+y)

=> Biểu thức = -1-1-1-1 = -4

Nếu x+y+z+t khác 0 thì :

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

x/y+z+t = y/z+t+x = z/t+x+y = t/x+y+z = x+y+z+t/3x+3y+3z+3t = 1/3

=> x=1/3.(y+z+t) ; y = 1/3.(z+t+x) ; z = 1/3.(t+x+y) ; t = 1/3.(x+y+z)

=> x=y=z=t

=> A = 1+1+1+1 = 1

Vậy ...........

k mk nha

có ghi ngược đề không vậy ạ? :>

cộng 1 vào ĐK thì tử là x+y+z+t => mẫu = nhau

=> x=y=z=t => P=4

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
x/(y+z+t) = y/(x+z+t)=z/(x+y+t)=t/(y+z+x)= (x+y+z+t)/3(x+y+z+t)=1/3 
=> 3x = y+z+t 
3y= x+z+t 
3z= x+y+t 
3t= x+y+z 
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta suy ra: 
x+y+z+t = 0 
=> x+ y=-(z+t) ; y+z=-(x+t); z+t=-(x+y); t+x=-(z+y) 
Thế vào P ta được: P = -(z+t)/(z+t) -(t+x)/(t+x) - (x+y)/(x+y) - (z+y)/(z+y) = -4

Hình như là có th >0 và <0 mà

Nếu \(x+y+z+t=0\)suy ra \(P=-1-1-1-1=-4\).

Nếu \(x+y+z+t\ne0\):

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=t\ne0\).

Khi đó \(P=1+1+1+1=4\).

+ TH1 : \(x+y+z+t=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(t+x\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

+ TH2 : \(x+y+z+t\ne0\)

+ \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)\(=\frac{x+y+z+y}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)

( do \(x+y+z+t\ne0\))

         \(3x=y+z+t\Rightarrow4x=x+y+z+t\)

\(\Rightarrow\)\(3y=z+t+x\Rightarrow4y=x+y+z+t\)

          \(3z=t+x+y\Rightarrow4z=x+y+z+t\)

           \(3t=x+y+z\Rightarrow4t=x+y+z+t\)

\(\Rightarrow4x=4y=4z=4t\Rightarrow x=y=z=t\)

\(\Rightarrow P=4\)